Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
важнейшую роль, является идеальная жидкость, ньютоновскую динамику
которой мы сейчас кратко опишем. Для наших целей жидкость не следует
представлять себе состоящей из частиц, а следует рассматривать как
непрерывное распределение вещества, обладающего плотностью (т. е. массой
в единице объема). Если поместить в жидкость некоторую поверхность, то
жидкость с одной стороны от этой поверхности будет действовать с
определенной силой на жидкость, находящуюся по другую сторону от
поверхности, причем эта сила нормальна к поверхности. Можно показать, что
в каждой точке жидкости эта сила, или напряжение, не зависит от
направления. Эта сила называется изотропным давлением жидкости.
Рассмотрим теперь идеальную жидкость с плотностью р и давлением р,
движение которой должно быть описано в ньютоновской инерциальной системе
с декартовыми координатами Xt (1=1, 2, 3). Предполагается, что в точке
(Хг, Х2, Х3) жидкость имеет скорость, компоненты которой равны (Uv U2,
U3), причем последние три величины являются функциями трех координат Xt и
времени Т. Рассматривая закон сохранения импульса вещества в бесконечно
малом объеме абсолютного пространства, можно показать, что уравнения
движения жидкости имеют вид
ТГ + ^и1Щ = - 7Ж + ^ ('=1.2. 3). (3.201)
1=1 1
§ 3.2. Ньютоновская механика протяженных тел
75
где три величины - компоненты той части силы,
которая определяется градиентом давления, а три величины Ft- компоненты
силы, приходящейся на единицу массы и обусловленной другими причинами.
В дополнение к уравнениям движения в ньютоновской гидродинамике имеется
одно добавочное уравнение, которое выражает закон сохранения массы внутри
единичного объема. Оно называется уравнением непрерывности и имеет вид
тг+2тхг=°- <3'202>
.' = 1
Умножая уравнения (3.201) на р и используя обозначения § 2.8, определение
(2.112) для 8* и то, что при использовании в эвклидовом пространстве
декартовых координат исчезает различие между ковариантными и
контравариант-ными составляющими, мы можем переписать эти уравнения в
виде
<*(Р Ui) , д /jjfj t s f J dg t disUj)
dT dXj + U j от + dXj J p
Следовательно, в силу (3.202), эквивалентная форма уравнений движения
имеет вид
+ + = (г'=1- 2,3). (3.203)
Таким образом, движение идеальной жидкости в ньютоновской гидродинамике
описывается четырьмя уравнениями
(3.202) и (3.203), которые содержат частные производные от десяти
функций р, pUt и (pUiUj-^-b^p) в левых частях и нуль или компоненты
внешней силы Ft в правых частях. Важной чертой этих уравнений является
то, что если даже сила F( задана как функция координат, имеется только
четыре уравнения для пяти неизвестных (р, р и трех Ut). Следовательно,
эти уравнения сами по себе являются неопределенными, и необходимо ввести
некоторое дополнительное соотношение между плотностью, давлением и (или)
скоростью жидкости. Это дополнительное соотношение может быть получено из
закона сохранения энергии, одна из форм которого будет рассмотрена ниже
[1].
?6 Глава III. Ньютоновская механика и теория относительности
Неопределенность гидродинамических уравнений может быть легко преодолена
в случае, когда непрерывная среда является жидкостью в собственном смысле
этого слова, так как жидкость является фактически несжимаемой. В этом
случае применимо условие р = const; оно является основой гидродинамики в
узком смысле этого слова, которая интенсивно развивалась в XIX в. и
начале XX в. В последующее время, однако, внимание было обращено к
другому аспекту гидродинамики - к так называемой газовой динамике, в
которой рассматриваются газы, являющиеся сжимаемыми непрерывными средами.
Идеальный газ - это непрерывная среда, уравнение состояния которой
(связывающее ее давление, плотность и температуру) может быть записано в
виде
р = & РсГ, (3.204)
где - абсолютная температура, a eR (= 8,314 • 107эрг/град) - газовая
постоянная. Поскольку вводится температура, совокупность уравнений
(3.202) - (3.204) все еще остается неопределенной, однако теперь можно
обратиться за дополнительным уравнением к термодинамике. Теплота - одна
из форм энергии. Количество энергии, требуемое для повышения температуры
1 г воды от 14,5° до 15,5° С при давлении 760 мм pm. ст., эквивалентно
количеству механической энергии, равному ^=4,185- 107 эрг/кал. В случае
газа для нагревания единицы массы вещества на один градус требуются
различные количества тепла в зависимости от того, находится ли масса газа
внутри жестких границ или может свободно расширяться, преодолевая
остающееся неизменным давление окружающего газа. Эти условия определяют
понятия удельной теплоемкости при постоянном объеме (cv) и при постоянном
давлении (ср), отношение которых Y = cpjcv. В руководствах по
термодинамике показывается, что если dQ - количество тепла, сообщаемое
удельному объему газа, а соответствующее изменение температуры и
объема равны dj1 и то
?dQ = ?cvd§ + pd
$ 3.2. Ньютоновская механика протяженных тел
77
