Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
для операторов Qm и Риа и скомбинируем из них новые операторы рождения и
уничтожения фотонов
: ((r)исЛка iPy. а)> Сисс = /- -" ((r)xaQxa IP к а)-
''"(* ,/-*т---v иссчиа *'* ха/> wxa- ,/-т-------'
V 2fta>xa у 2Й'0>ха
(64.9)
Тогда оператор Гамильтона Н принимает вид
Я = ?Йюха(с?асха + у). (64.10)
ка
Для того чтобы в дальнейшем иметь возможность преобразовать
(классические) члены взаимодействия в операторах взаимодействия фотонов с
элементарными возбуждениями в твердом теле, нам понадобится связь между
ст и полями. После введения вектора поляризации ека (_1_и) получим
А =
2l/ ?еиа(си"е1у"г+сг"е'1и'г)' (64Л1)
ха ?
Оба поля Е и Н получаются отсюда при использовании (64.3). Для
зависимости сиа от времени, как и для ака, полагаем
Су.а ~ ехр (-ioW).
§ 65. Поляритоны
Поглощение электромагнитного излучения твердым телом означает перенос
энергии из электромагнитного поля в твердое тело, иначе говоря -
поглощение фотона с рождением элементарного возбуждения.
Для того чтобы энергия была реально отнята от поля излучения, надо, чтобы
связь элементарных возбуждений с фотонами была не больше чем другие
взаимодействия в твердом теле, кото-
*) Простой вывод выражения (64.7) см. в книге: Ландау Л Д., Лиф-шиц Е. М.
Теория поля.- М.: Наука, 1973, § 52. (Прим. ред.)
252
взаимодействие с фотонами, оптика
[ГЛ. IX
рые дальше рассеивают поглощенную энергию. В противном случае вероятность
реэмиссии фотонов слишком велика и поглощенная энергия вновь отдается
полю излучения (рис. 67).
X к
"ДЛЛЛ^- WWW*- |ЛЛЛЛ/>*
X. у-х lA/WV>V/vVWw
а)
б)
Рис. 67. Поглощение фотоиа, связанное с испусканием фонона: а) в
последующем процессе фотон реэмиттируется, б) в последующем процессе
фонон распадается на два фонона меньшей энергии; только в результате
этого энергия фотоиа окончательно извлекается из поля излучения.
Типичным примером является взаимодействие поперечного электромагнитного
поля с поперечными поляризационными волнами твердого тела. Относящиеся
сюда элементарные возбуждения будут TO-фононы для поляризации ионной
решетки и экситоны для поляризации электронной системы. Они являются
бозе-
частицами. Первоначально будем рассматривать их совместно как кванты
поляризации. Тогда взаимодействие с электромагнитным полем состоит из
переходов фотон -*- квант поляризации и обратно. Поглощение
осуществляется только в том случае, когда квант поляризации распадается
на (одно или несколько) другие элементарные возбуждения до реэмиссии
фотона.
Дисперсия кванта поляризации настолько мала, что дисперсионные кривые
фотона и кванта поляризации пересекаются при малых волновых векторах
(рис. 68). Вблизи точки пересечения-энергия и импульс обоих возбуждений
совпадают-связь будет настолько сильной, что они больше не могут
рассматриваться как независимые элементарные возбуждения. Фотон и квант
поляризации гораздо ближе к единой частице, которая может рассматриваться
как элементарное возбуждение. Ее взаимодействие с другими элементарными
возбуждениями в твердом
дисперсионных кривых (здесь для фотона (о = ck и для поляризационного
кванта (о = (о0) законы сохранения энергии и волнового числа разрешают
преобразование одного возбуждения в другое (см. рис. 67). Сильное
взаимодействие ведет к смешанной форме обоих возбуждений, к поляритону.
Дисперсионная кривая поляритона имеет две ветви. Правее точки пересечения
одна ветвь поляритона переходит в фотон, поляритон другой ветви-в
поляризационный квант. Левее точки пересечения (к -> 0) имеет место тоже,
только там изменяется скорость фотона и поляризационного кванта.
§65]
ПОЛЯРИТОНЫ
253
теле и представляет собой процесс поглощения. Она называется поляритоном.
Для того чтобы точнее охарактеризовать поляри-тон, введем, наряду с
вектор-потенциалом света (64.11), поляризацию диэлектрика. Оба вектора
выразим через операторы рождения и уничтожения:
А = ^А0(Сна,-\-с1ка)?1%г, (65.1)
ха '
Р = ЪР"^ + Ь-ьа)&1к-Г- (65.2)
ка ' '
При этом суммирование проводится по волновым векторам х и соответственно
к и оба направления поляризации лежат в плоскостях, перпендикулярных к
ним. В дальнейшем для упрощения будем для совокупности обоих индексов
суммирования писать индекс к. Положим оператор Гамильтона взаимодействия
фотон- квант поляризации равным
H = '?t^Elk (c+Ck -f yJ + E2k(b+bk + y) +
+Kbk-cnK-ckb-k+ctkK) | • (65-3)
Первый член представляет собой оператор Гамильтона поля фотонов, второй -
поля поляризации. Третий член описывает взаимодействие, причем знаки
выбираются в соответствии со следующим рассуждением. Взаимодействие
зависит от произведения обоих полей Е Р. Так как Е-Р~ - (1 /с)А-Р, то в
числе взаимодействия, согласно (65.1) и (65.2), появляются произведения
вида -(с*- c+J {bk-\-b±k) или, после перестановки индекса суммирования к
с -к в bk, четыре комбинации в последнем члене (65.3).
Для того чтобы^определить энергию Eik, надо получить оператор Гамильтона
в явном виде. Мы откажемся от этого несколько сложного пути и определим
