Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Этот случай подробно рассмотрен в ряде книг по основам физики
полупроводников, например [95], Поэтому мы здесь не будем на нем больше
останавливаться.
2. Сильно вырожденный электронный газ (металл). При этом в первом
приближении отрицательная производная функции распределения Ферми может
быть заменена 8-функцией 6(Е-¦?). Тогда интеграл (61.3) будет равен
значению подынтегральной функции в точке Е = ?. Очевидно, при этом
исчезают все коэффициенты с 6=1,2. Это справедливо для полного теплового
потока и всех добавок к электрическому току, вызываемых grad Т. Поэтому
для термоэлектрических и термомагнитных кинетических коэффициентов должно
быть использовано следующее приближение:
j&(?) (~ж) dE = g(0 + -^- (kBTf g" (?)+... (61.5)
о
. Далее мы рассмотрим только два случая явлений переноса, которые
показывают некоторые характерные черты приближения времени релаксации.
Для рассмотрения всех явлений переноса мы отсылаем к имеющейся
литературе.
Начнем с проверки применимости закона Видемана-Франца. Уравнения потоков
будут
/ =М00?+ М01 -Igrad Т,
1 (61-6)
- wq = М01?+ М02 -у grad Т.
Согласно (57.1) x = M0JT, о = М00. Закон Видемана - Франца,
следовательно, имеет вид к/оТ = М02/М00Т?. Для М00 достаточно
приближения 6-функции, и мы получаем
(61-7)
Для М02 мы должны использовать оба члена приближения (61.5). Тогда мы
найдем
os 6 (*BI) Зп*{р) dE*\h m* { e ) )E=l-
=Jll(WMooi (6L8)
§61]
ПРИБЛИЖЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ
241
Разделив одно выражение на другое, получаем для правой части закона
Видемана - Франца Ь = (п2/3) (kBlef. Часто L называют числом Лоренца. В
приближении времени релаксации этот закон должен всегда выполняться.
При низких температурах в металлах наблюдается отклонение от этого
закона, т. е. приближение оказывается недостаточным.
Рис. 63. Электропроводность 0, теплопроводность х и число Лоренца L для
меди. (По Блэкмору [4].)
Так же как для электропроводности, введем в этом температурном интервале
некоторое формальное время релаксации и для теплопроводности. Тогда
предыдущий результат надо помножить на зависящие от температуры
коэффициенты обоих времен релаксации. На это накладывается дальнейшая
температурная зависимость числа Лоренца, появляющаяся из-за добавки
других механизмов рассеяния.
На рис. 63 в качестве примера приведены электропроводность,
теплопроводность и число Лоренца для меди в широком интервале температур.
Для полупроводников тоже наблюдаются отклонения от закона Видемана -
Франца, хотя для них практически всегда возможно
242
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. VIII
приближение времени релаксации. Однако из-за малой концентрации
электронов электронный вклад в теплопроводность мал. По сравнению с ним
нельзя пренебрегать теплопроводностью решетки (гл. XI).
Далее, существенной областью применения приближения времени релаксации
являются гальваномагнитные эффекты. Так как нас интересует только
плотность электрического тока и grad Т равен нулю, то для металлов мы
можем использовать приближение б-функции. Тогда, если ввести подвижность
|А = ет (Q/m*, то при o = en\i получим
М," =----р-----(-?)', (61.9)
!+>)' V 1
и, следовательно,
4 С
ВхЕ+^В(В-Е)). (61.10)
Этот простой результат интересен, так как для малых полей он одновременно
является стационарным решением уравненияJ)
т* (v + ^rv')= - e(E +-^-vx в) , i = - env. (61.11)
Уравнение (61.11) описывает движение электрона в среде с трением, с
коэффициентом трения 1/т(?), под действием силы Лорентца в скрещенных
электрическом и магнитном полях. В этом граничном случае, следовательно,
для явлений переноса можно принять простую, классическую модель, которая
тесно связана с рассмотренной ранее теорией Друде -Лорентца -
Зоммерфельда.
Здесь надо отметить, что (61.9) является одновременно результатом другого
приближения; если только принять в (61.3), что время релаксации не
зависит от энергии, то при любом виде функции распределения Ферми /0
<6L,2>
и так как п=^ f0z(E)dE, то при интегрировании по частям
о
опять получается точно выражение (61.9).
!) Пренебрегая членами порядка В2 и используя, что 1= - env и о = епц- =
ebix/т*, легко показать, что решение (61.10) удовлетворяет уравнению
(61.11) при (r) = 0. (Прим. ред.)
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ
243
В заключение из гальваномагнитных эффектов рассмотрим еще кратко
изменение сопротивления в магнитном поле (магнетосопро-тивление). Для
этого обратимся к уравнению (58.2). Вошедшие в него коэффициенты ап и |3П
в приближении (61.9) будут
"11------Р----- - Pll =-?"!!• (61-13)
1+^>й)2
Тогда ток ix в магнитном поле Вг и электрическом поле Ех при ij, = 0
будет
ix = аиЕх + Ц В1ЕХ = ("" + Ц В1) Ех. (61.14)
Из сравнения с выражениями (61.13) видно, что электропроводность o =
en\i, т. е. не изменяется магнитным полем. Отклонение электронов силой
Лорентца точно компенсируется действующей навстречу силой поля Холла. Для
этого приближения существенно предположение, что все электроны,
