Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
232
ЭЛЕКТР0Н-Ф0Н0ННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. VIII
слаба по сравнению с экспоненциальной температурной зависимостью
концентрации.
Первая классическая теория электропроводности была развита Друде. В ней
предполагалось, что поведение всех электронов в электрическом поле
одинаково. Взаимодействие с решеткой осуществляется процессами
столкновений, при которых происходит обмен энергией и импульсом. Между
двумя столкновениями электрон свободно ускоряется внешним цолем.
Совместное действие ускорения и столкновений приводит к некоторой средней
постоянной скорости, которая линейно изменяется с полем (закон Ома).
Закон Видемана - Франца также легко следует из теории. Однако ничего
нельзя сказать о температурной зависимости концентрации электронов. Также
нельзя вывести температурную зависимость подвижности. При простых
предположениях о температурной зависимости вошедших параметров
температурная зависимость подвижности получается неправильной. Этого не
смогли изменить и дальнейшие улучшения теории, учет распределения
скоростей электронов (Лорентц), привлечение статистики Ферми
(Зоммерфельд). Несмотря на некоторые очевидные успехи теории Друде -
Лорентца -Зоммерфельда, для решительного ее улучшения потребовалось
заменить примитивное представление о соударении электронов с ионами
решетки на электрон-фононное взаимодействие. Необходимую для этого
технику мы уже приводили в предыдущих параграфах этой главы.
Начнем с вычисления электропроводности для случая взаимодействия
электронов с продольными акустическими фононами. Для этого надо сразу же
сделать два допущения. Мы предполагаем, что система фононов находится в
равновесии, и пренебрегаем процессами переброса. Тогда столкновительный
член уравнения Больцмана^задается (52.10), где вероятности переходов надо
использовать из (49.14). Для nq в (49.14) мы подставим распределение
Бозе. Для Пь надо использовать (возмущенную) функцию распределения f (k).
Матричный элемент, вошедший в вероятность перехода, задается (49.9). В
качестве обычного упрощения полагаем, что компоненты Фурье V" не зависят
от q. Это необходимо для того, чтобы вообще иметь возможность провести
нижележащие интегрирования. Это приближение совершенно достаточно, пока
мы хотим вычислить температурную зависимость электропроводности, но не ее
абсолютное значение.
Из (52.10) мы получим
(r) ст= ш Е щ + (*)) f (k+0) ~
-nq(l-f(k + q))f (к)] 8(E (k + q) - E (k) - %<dq) +
+ К (1 ~ f (*)) f (k + q) - (nq +I) (\-f{k + q))f(k)]X
х8(Е(* + 0)-Е(*) + Й(c),)}. (60.1)
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
233
Введем по (52.14) возмущение функции распределения, заменим суммирование
по д интегрированием и все остальные константы включим в С, тогда получим
т =
\dt / ст
= 7 \&пч -fo[k + g))b{E {k + g)-E {k)-h<oq) +
+ /e (*+<?)(! - fo (*))fi(? (ft + 9) -?(ft) + ^(o9)]x
х{6Ф(й + ^) - бф(й)}й(т9. (60.2)
Интегрирование мы проводим при двух ограничивающих предположениях. Для
E(k) мы примем выражение Е = %21г2/2т*. Дальше аппроксимируем
дисперсионное соотношение для фопонов (r)(<7) линейной зависимостью со~ ^ и
заменим зону Бриллюэна шаром с радиусом qD (дебаевское приближение, §
32). Величина qD связана с дебаевской частотой, с температурой Дебая и
скоростью распространения продольных акустических волн выражением fi(i>D
= %slqD = kBQD. Условие 0^q^qD тогда запишется:
fmq^kBQD. (60.3)
Из закона сохранения энергии Е = (k + Я) = Е (k) ± ^со9 следует еще одно
условие для q. Положив для Е (k) квадратичную зависимость от аргумента и
пренебрегая ha>q по сравнению с другими членами в законе сохранения
энергии, получим q 2/г, или
1шч < 2 У g kBQD, D = ^I. (60.4)
Здесь Е - энергия рассеянных электронов. В металлах в этом случае входят
в рассмотрение электроны вблизи поверхности Ферми. Таким образом, Е
близка к ?. Второе условие существенно для ? < D/4. Это имеет место
только при малой плотности электронного газа. Для металлов,
следовательно, справедливо условие (60.3) для области интегрирования
(60.2). Для полупроводников, наоборот, из-за малой концентрации
электронов проводимости надо принять условие (60.4). Все эти условия
приводят к выражениям
234
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. VIII
при D из (60.4) и
6Ф(Й)^С(?) (ср. (53.6)), Ц = ~^, a =
В константу С мы опять включили все встретившиеся константы.
Так как в этом параграфе нас интересует только электропроводность, то в
качестве внешнего поля возьмем электрическое поле, которое направим вдоль
оси х. Тогда уравнение будет, по
(52.2) и (53.8),
Уравнение (60.6) со столкновительным членом (60.5) может быть решено с
помощью метода итерации. Для точного проведения решения см., например,
Вильсона [33].
Для не слишком высоких температур конечное выражение будет (ср. с (53.6))
3 3
f = fo-dj?kxc(E), с-------(60.7)
где
Л (х)
Выражение (60.7) приводит к электропроводности а:
'V= е1 Охщ- kxc (Е) z (k) dxk = - Ц J E ( с (E) z (E) dE. (60.9)
Так как по (60.7) c(E) не зависит от Е, то а пропорциональна с.
