Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия можно разделить на две части. Одна часть описывает
взаимодействие с ионами, находящимися в положении равновесия, и вторая -
поправка к этой части, связанная с колебаниями решетки:
^lon-lon = ^ion-lon ^ph> (2.5)
/^el-Ion =/^ei-ion "Ь ^ei-ph- (2-6)
Индекс ph указывает на фононы, с помощью которых мы позднее будем
описывать колебания решетки.
МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ
19
Уравнения (2.1) -(2.6) являются основой для квантовомеханической
трактовки большинства свойств твердых тел. Следующим шагом является
переход от функции к оператору Гамильтона. В координатном представлении
оператор Гамильтона зависит от координат всех электронов и ионов.
Соответственно волновая функция, на которую действует оператор Н, будет
тоже функцией всех этих координат. При такой форме оператора Гамильтона
спин не может быть последовательно учтен (см. следующий параграф). Однако
для большинства проблем, которые мы будем рассматривать, достаточно
нерелятивистского уравнения Шредингера без членов спин-орбитального
взаимодействия.
Точное решение поставленной квантовомеханической задачи невозможно.
Необходимо делать приближения. Для теории твердого тела типичны два
следующих приближения: при некоторой заданной постановке вопроса
отдельные члены оператора Гамильтона либо опускаются, либо учитываются
только частично, либо позднее учитываются с помощью теории возмущений.
Для дальнейшего упрощения этой уже упрощенной задачи используются
свойства симметрии кристаллической решетки. Допустимые приближения
зависят от постановки вопроса и от природы наблюдаемого твердого тела.
В операторе Гамильтона нельзя полностью пренебречь отдельными членами,
так как кулоновское взаимодействие одинаково для всех частиц, описываемых
оператором Н. Электронная часть Яе1 в (2.2) не может рассматриваться одна
уже потому, что она описывает электронный газ, заряд которого не
компенсирован ионами, как это имеет место в твердом теле. В качестве
первого приближения надо хотя бы дополнить (2.2) равномерно
распределенным объемным зарядом р+, который соответствует среднему заряду
ионов, и учесть взаимодействие электронов с этим объемным зарядом.
Объединим оба дополнительных члена и обозначим их через Н+, тогда в этом
приближении оператор Гамильтона будет иметь вид
^е, = Еж + тЕ'т-?-+ (2-7)
k 2т г kk'
Таким образом, электронный газ здесь рассматривается в поле равномерно
распределенного положительного заряда. В англосаксонской литературе эта
модель носит название "Jellium", мы будем называть ее континуальной
моделью1).
При таком рассмотрении на первый план поставлены свойства электронного
газа и, в частности, электрон-электронное взаимодействие, тогда как
симметрия решетки никак не учитывается.
l) Jelly (англ.)-желе, студень. (Прим. ред.)
20
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
В гл. II и III будет рассмотрен электронный газ при отсутствии и наличии
взаимодействия.
Рассмотренная модель может быть уточнена, если равномерно распределенный
объемный заряд заменить ионами, расположенными в положениях равновесия
/?". Тогда в (2.2) из (2.6) добавится член ЯеНоп- В этом случае будут
полностью учтены свойства симметрии решетки. При этом, однако, оператор
Гамильтона станет слишком сложен и продвинуться в рассмотрении проблемы
нельзя будет без дальнейших приближений. Это составит содержание гл. IV.
В соответствии с оператором Гамильтона (2.7) и учетом (2.3) и (2.5) может
быть рассмотрено движение ионов. Вместо совокупности электронов в
выражение (2.3) может быть добавлен постоянный отрицательный объемный
заряд р_ и его взаимодействие с ионами. Сумму обоих этих членов обозначим
через #_, тогда
ion = S щ: + т Е' ^оп № - Rt.) + я_; (2.8)
здесь второй член, как непосредственно видно из (2.5), может быть разбит
на два члена. Этот оператор Гамильтона является основой динамики решетки
и будет подробно рассмотрен в гл. V.
Оба члена Я+ и Я_ из выражений (2.7) и (2.8) как раз компенсируют друг
друга. Таким образом, в (2.1) остается (вместе с Яех1) еще только член
Яемоп. связывающий движение электронов и ионов. Если из этой части
выделить взаимодействие электронов с неподвижными ионами решетки,
использовав (2.6), и присоединить его к Яе|, то связь между движениями
электронов и ионов будет определяться только электрон-фононным
взаимодействием. После решения проблем, записанных в (2.7) и (2.8), эта
связь может быть учтена с помощью теории возмущений. К этому мы вернемся
в гл. VIII.
Таким образом, мы разделили всю проблему в целом на две проблемы:
движение электронов в покоящейся решетке и движение ионов без учета
объемного распределения электронов. Такое разделение всей проблемы
требует, конечно, более строгого обоснования. Для этого часто привлекают
так называемое адиабатическое приближение.
Оно обосновывается следующим образом. Электроны и ионы обладают сильно
различающимися массами. Ионы будут медленно реагировать на изменение
электронной конфигурации, тогда как электроны будут адиабатически
