Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
определим операторы с рождения и уничтожения. Пусть в зоне проводимости
(индекс /г) с?ц и спк, соответственно, рождают и уничтожают электрон с
волновым вектором k. В валентной зоне стк и Стк, соответственно, рождают
и уничтожают дырку.
Эти операторы целесообразны, если использовать представление Блоха. Если
же пользоваться представлением Ванье, то рождение и уничтожение частиц в
месте решетки R будут описываться операторами Спц, cnR, cmR и с^ц.
Перестановочные соотношения для этих операторов мы получим, действуя
произведением двух операторов на волновые функции основного или
возбужденного состояния. Тогда для сп% мы найдем:
Все Спчг коммутируют со всеми сХ"%", так же как все <V/?' - со всеми
сП"Ц'. Cn'if коммутирует с сП'чг, если п! фп" или R' фК'. Напротив, с+
антикоммутируют с с при одинаковых индексах:
[сл%, ся.*]= 1. (47.1)
Это вытекает, например, из того, что Сп'цСп'ц\ 0> равно нулю, когда п
есть зона проводимости, и, наоборот, равно [ 0>, когда п = т. Обратное
справедливо для Сп'ц'Сп'ц. Вместе, следовательно, получается {с%>цсП'ц +
<V/?<V/?) | 0> = | 0>, или, так как это уравнение доказывается для каждой
волновой функции,- операторное уравнение (47.1).
Величины спц являются операторами представления Ванье. Поэтому мы,
аналогично (44.3), переходим к экситонному пред-
§47]
ЭКСИТОНЫ КАК ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
191
ставлению и вводим операторы
Ьт = ~Х^^'кС+п>гСт, *+рСт*
, * , * (47.2)
= - ?е'Р-*сХ =у=- Е е-^^Ст/гСд, *+р.
Эти операторы рождают или, соответственно, уничтожают экситоны с
квазиимпульсом К и с расстоянием между электроном и дыркой р. Это
преобразование означает переход от единичного возбуждения электрона и
дырки при определенном k или R к коллективным возбуждениям, при которых
заданы только К и р. Из этих операторов мы, в соответствии с (44.5),
строим общие экситонные операторы посредством линейных комбинаций:
bvK = 2 U v/r(P) bpV- (47.3)
Р
Рассмотрение перестановочных соотношений для этих показывает, что
экситоны имеют характер бозе-частиц. Доказательство проще, если проводить
его для граничного случая экситонов Френкеля. Этим мы здесь и
ограничимся. В согласии с последним параграфом положим р = 0. Тогда в
(47.3) остается уже только один член. Положим еще т - О и п= 1; тогда,
так как операторы для КфК, очевидно, коммутируют, то получим
[bK, Ьк-] = ЬкК'\рк;, Ьк] =
- jf Е {*oV.*(l -CitfiR)--Со/г^и/?)} Ькк'. (47.4)
R
Появившиеся в последней строчке операторы произведений являются
операторами чисел заполнения N 1/t и NОни имеют собственные значения 1
или 0 в зависимости от того, находится ли электрон в R в возбужденном
или, соответственно, в основном состоянии. В соответствии с этим сумма
операторов N1k-\-NoR равна единичному оператору (в нашей модели в каждой
точке решетки находится электрон в основном или возбужденном состоянии
атома). Произведение обоих операторов, наоборот, очевидно, нуль. Таким
образом, (47.4) примет вид
[Ьк, Ь/гЬ "/с/r (i -Ет} (47-5)
Последний член по порядку величины равен "отношению числа экситонов к
числу невозбужденных атомов решетки". Так как здесь мы рассматриваем
только наиболее низкие возбуждения изолятора, то этим членом можно
пренебречь по сравнению с 1. В этом приближении, следовательно, экситоны
являются бозонами.
ЧАСТЬ II
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ
Глава VIII
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
А. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ § 48. Введение
Электроны в твердом теле являются квазичастицами, которые занимают
одноэлектронные состояния в зонной модели. Они описываются блоховскими
функциями | п, к, су, где п обозначает индекс зоны, k - волновой вектор и
а-спин электрона. В настоящей главе нас будут интересовать почти
исключительно электроны одной зоны, зоны проводимости. Поэтому мы будем
приводить индекс зоны только в некоторых отдельных случаях. При переходе
внутри зоны проводимости спин электрона в большинстве случаев
сохраняется, поэтому мы часто будем описывать электрон только его
волновым вектором.
Фононы являются коллективными возбуждениями решетки. Число
фононов"отдельных состояний, заданных волновым вектором q и ветвью /
дисперсионного спектра ";(<?), характеризует колебательное состояние
решетки.
Элементарный акт электрон-фононного взаимодействия состоит в рождении
(эмиссии) или уничтожении (поглощении) одного фонона (q, /) при
одновременном изменении состояния электрона \k, ст> в состояние(r) \\k ± q,
ay. Оба эти процесса взаимодействия представлены графиками на рис. 57, а,
б. Оба графика, испускания фонона и поглощения фонона, если их изобразить
несколько иначе, описывают и два дальнейших процесса (рис. 57, в, г).
Если на графиках представить себе ось времени, идущую слева направо, и
рассматривать электроны, движущиеся в обратном направлении по оси
времени, как дырки, то эти графики описывают рекомбинацию электронно-
дырочной пары при рождении фонона или, соответственно, рождение
электронно-дырочной пары при уничтожении одного фонона.
