Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
блоховского представления в экситонное представление. Получится уравнение
<тпК$ | Н | тпКрУ = Е06РЗ, + А ? е"-<е-т (Wn (k)-Wm (ft-*Q)+
k
+ 26^ </гр, mO |g I mO, n$'y- <nfi, mO\g\ n$', mO> +
+ eiK R {2bs(n$, mR\g\mO, + -
И{Ф 0)
- <np, mR\g\n/? + p', mOy), (44.4)
где g = e2/\r - г' |. Здесь О означает (произвольно выбранное) начало
координат. Диагонализация (44.4) осуществляется суперпозицией волновых
функций (44.3):
(Р)Фтп(К, Э). (44.5)
Уравнение для собственных значений тогда имеет вид
'%<тпК$\Н)тпКР'У UmnvK($') = ??/mnv*(P), (44.6)
Р'
и собственные значения определяются корнями секулярного уравнения
det | <тог/<ф | Н [ тпК$'У -?брр-1 = 0. (44.7)
Дальнейшее обсуждение проблемы будет целесообразно рассмотреть для
граничных случаев слабого и сильного электронно-
186 ВОЗБУЖДЕНИЯ в ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ИЗОЛЯТОРАХ [ГЛ. VII
дырочного взаимодействия. Это будет сделано в двух последующих
параграфах. Общность результатов пока ограничена предположениями о
решетке Браве и о существовании одной (заполненной в основном состоянии)
валентной зоны'и одной зоны проводимости.
§ 45. Экситоны Ванье
Главную роль среди членов взаимодействия в уравнении (44.4) играет
кулоновское взаимодействие между электроном и дыркой </гр, тО\(е*/\г-
г'|)|лр, тОУ = е2/р. Во всяком случае этот член имеет наибольший радиус
действия. Для случая, когда электрон и дырка удалены друг от друга на
расстояние многих постоянных решетки, в первом приближении можно
пренебречь всеми другими взаимодействиями или учесть их позже с помощью
теории возмущений. Экситоны, которые могут быть описаны в этом
приближении, называются экситонами Ванье. Противоположный граничный
случай, когда электрон и дырка располагаются у одного и того же атома
решетки, называется экситоном Френкеля.
Для экситона Ванье запишем (44.6) в виде
Е{Яо^ч4Ее,*'(р-р'^Л*)-1М*-^)-?М^И(П =
=EUvK( р). (45.1)
Для преобразования второго члена применим тот же искусственный прием, как
и в § 21 (см. (21.8), (21.9)). При условии
*/(p') = 5V"-P'G(x) и Ц7л(^ = Ее^Ц7м (45.2)
к т
будет
ЕЕ(?)?/(Р')-^ Е e'<*-*>P'G(x)-
f3' k fi', k, y,t m
= S Wnme^e^G(x) = y^e^^fe'x-PG(x) =
*'m = HU-Wgradp)i/(P) (45.3)
и мы получим
(Wn (- i gradp)- Wm (- i gradp-K)-^ tfv*(p) =
= (?-?") ?/v*(p). (45.4)
Окончательно, с помощью преобразования Fvk (Р) = ехр (- 1'ДГР/2)х X U
v/r(P),
(Wn {-i gradp + §) - (- i gradp- $)-у ) /ч*(Р) =
= (E-E0) Fv/f(P). (45.5)
ЭКСИТОНЫ^ВАНЬЕ
187
Выражение (45.5) соответствует уравнению (21.13). Для его исследования
используем приближение эффективной массы, иначе говоря, для Wпт{к) вблизи
нижнего края зоны проводимости и соответственно верхнего края валентной
зоны мы предположим, что
*'.<*> = ?" +щ; и (*)-?.-Щ, (45.6)
и, используя приведенную массу jх*1 = т^1-'t-nip1 и ширину запрещенной
зоны Еа = Еп - Ет, получим
(_|4_^_^(^_J.)*.*r".)f-(?-*.-?"-^) F,
(45.7)
Здесь еще можно исключить третий член в левой части с помощью
преобразования
/ i тп - тр \
и тогда получим
<"-8)
Это выражение формально идентично с уравнением Шредингера для свободного
атома водорода. Поэтому оно имеет собственные значения
е1 Р-К2
2%Ч2 2 (тп+тру
Е-Е, + Е,(К), EM = Ea-^ + ^-v (45.9)
Здесь En(k) - энергия экситона, она состоит из разности энергий между
обеими зонами, уменьшенной на энергию связи (соответственно спектральному
терму в проблеме водорода), и кинетической энергии центра тяжести
экситона.
Использованное здесь приближение можно улучшить феноменологически,
основываясь на интерпретации уравнения (45.8), которое описывает две
противоположно заряженные частицы, взаимодействующие по закону Кулона, с
эффективными массами тп и тр. Не принято во внимание влияние электронно-
дырочного взаимодействия на другие заряженные окружающие их частицы. При
большом расстоянии между электроном и дыркой кристалл может
рассматриваться как однородная среда (со статической диэлектрической
проницаемостью е0), в которой движется пара электрон - дырка. В связи с
этим взаимодействие уменьшится в е0 раз, за что ответственна в первую
очередь поляризация атомов решетки. При уменьшении расстояния между
электроном и дыркой возрастает частота вращения обеих частиц. Так как
поляризация
188 ВОЗБУЖДЕНИЯ в ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ИЗОЛЯТОРАХ [ГЛ. vii
решетки означает возбуждение оптических фононов, то эта поляризация
исчезает, когда частота вращения делается больше частоты продольных
оптических фононов. Тогда все же остается еще поляризация окружающих
валентных электронов, экранирующее действие которых на кулоновское поле
описывается высокочастотной диэлектрическои проницаемостью е". При
дальнейшем сближении электрона и дырки электроны также могут перестать
следовать за поляризующим действием пары. Однако это наступает при
настолько малых расстояниях (небольшое число атомных расстояний), что
делается уже невозможным пренебрегать и обменным взаимодействием.
В рамках приближения Ванье, таким образом, делается целесообразным в
(45.8) учесть изменение кулоновского взаимодействия введением эффективной
