Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Удаление одного валентного электрона из состояния т, к, s вносит
изменение - Wm(k), где Wm(k) задается выражением (43.3), и в нем
суммирование надо проводить по всем валентным состояниям т, k. Введение
одного электрона в зону проводимости п, к', s' вносит три изменения в
энергию, которые мы рассмотрим раздельно. Во-первых, одноэлектронная
энергия Wn(k') получается из (43.3), когда т, k заменяются на п, к' и
опять суммируются по всем х валентной зоны. Эта добавка содержит
взаимодействие с заполненной валентной зоной. Поэтому сначала вычитаем
взаимодействие электрона зоны проводимости с электронной парой т, к, ±s.
Это вносит добавку - 2<jik', mk\(e2/\r - г'\)\nk', тку -f--f <nft',
mk\{e2/\r - r'\)\mk,nk'y. Остается еще взаимодействие электронов п, к',
s' и т, к, -s. Здесь надо различать возможные положения спинов. Из
аналогичной проблемы гелия мы знаем, что в первом возбужденном состоянии
(Is (1) 2s(2)) при параллельных спинах получается триплетное состояние,
при антипа-раллельных спинах - синглетное. Из-за требования
антисимметричности волновой функции при перестановке обоих электронов
надо выбирать спиновую часть волновой функции соответственно симметричной
или антисимметричной: а(1)а(2), Р(1)Р(2), (1/К2) (а (1)р (2) ±
|3(1)а(2)). Соответственно и здесь, чтобы получить состояния определенной
мультиплетности, мы должны выбрать подходящие линейные комбинации
детерминанта Слэтера. Если мы это сделаем, то в качестве энергии
взаимодействия мы можем установить кулоновское взаимодействие пары плюс
(в син-глетном состоянии) или минус (в триплетном состоянии) обменная
энергия. Эта добавка частично компенсируется второй добавкой,
х) Для того чтобы разобраться в этом и следующих параграфах, рекомендуем
читателю обратиться к книге Нокса [71]. (Прим. ред.)
184 ВОЗБУЖДЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ИЗОЛЯТОРАХ [ГЛ. VII
и по совокупности получается энергия возбуждения
A W = W" (k) - Wm (к) - (пк', тк | | пк'тк) +
+ ^2(пк', mk ypzzpj\mk, nk'^Y (44.1)
где член, стоящий в скобках во второй строке, надо принимать во внимание
только для синглегного состояния. Выражение (44.1) содержит в явном виде
А-векторы ненасыщенного валентного электрона и электрона проводимости.
Теперь целесообразно в обозначениях перейти от картины пара электрон -
дырка к возбуждению пары. Как это было показано в § 5, Л-вектор дырки
равен А-вектору недостающего электрона. Для спина дырки мы должны принять
результирующий спин -s валентной зоны после удаления электрона. Введем
индексы ей h соответственно для электрона и дырки и тогда получим ke =
k', se - s', kh = k, sh = - s, K=ke-kh, a = (%/2)(se + sh). В этих
обозначениях мы дадим матричные элементы между рассмотренным выше (спин-
симмет-ричным) детерминантом и оператором Гамильтона (3.1), который будет
содержать выражения (44.1) в качестве диагональных элементов, т. е.
При этом 6^ = 1 для синглетного состояния, 6^ = 0 для триплет-ного
состояния. Выражение (44.2) содержит недиагональные элементы.
Следовательно, (44.1) не дает собственных значений задачи. Для этого
(44~.2) должно быть диагонализировано. Иначе говоря, отдельных
детерминантов Слэтера недостаточно для описания возбужденного состояния.
Оно описывается суперпозицией различных детерминантов. Из-за
трансляционной симметрии проблемы суперпозиция возможна только для
детерминантов, которые описывают состояния с одинаковыми К=ке-kh. Это же
выражается символом 6 у недиагональных элементов (44.2). Если в
детерминанте Слэтера возбужденного состояния все г заменить на г + /?",
то получатся множители вида exp (i (k^-^k^ -f • • • +kN)-R"). Так как
2>/=о, то для заполненной зоны эти множители будут
равны (i (ke kh) ¦ R") = exp (iK-Rn). Решения многоэлектронной задачи
также должны иметь определенный квазиимпульс, поэтому суперпонировать
надо только такие детерминанты, для которых К имеет постоянное значение.
| г-г' е2
- (nke, mk'h -|гjpy nke> ткп)У (44.2)
§44] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСИТОНОВ 185
Нецелесообразно диагонализировать (44.2) в блоховском представлении.
Лучше сначала рассмотреть соответствующее выражение в представлении
Ванье. Для этого надо исходить из детерминанта Слэтера с функциями Ванье
(43.5) для основного состояния и заменить функции Ванье (/?,-, s)-ro
столбца на функции зоны проводимости ап (/?;, rf, s'). Различие по
сравнению с бло-ховским представлением тогда очевидно. Елоховские функции
характеризуются ft-вектором, функции Ванье-местом в решетке/?,.. Экситон
в блоховском представлении характеризуется своим квазиимпульсом К.
Соответственно характерным параметром для представления Ванье является Р
= /?;-расстояние электрона от дырки. Оба параметра важны для описания
экситона. В экси-тонном представлении их можно комбинировать.
Волновые функции в этом представлении имеют вид
Фяв(*0) = ^Ее-'М"Фmn(k-K, k) =
= Я + Э), (44-3)
где Фтп-детерминанты Слэтера соответственно в блоховском и ванье-
представлении. С помощью (44.3) можно перевести матричные элементы из
