Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
энергии Еа, именно к экситонным состояниям.
Для количественного рассмотрения проблемы экситонов, ради простоты,
ограничимся решеткой Браве с двухвалентными атомами. 2N электронов
внешней оболочки атомов решетки целиком заполняют валентную зону. За
самым высоким уровнем этой валентной зоны, на расстоянии Еа, следует
самый глубокий уровень зоны проводимости. Прежде всего рассмотрим
основное состояние этой системы.
В выражении (3.7) приближения Хартри -Фока еще не определены
одноэлектронные волновые функции. Они получаются как решения уравнения
Хартри-Фока. Мы не сделаем слишком большой ошибки, если вместо этих
неизвестных (и трудно определимых) функций используем решения
усредненного уравнения (3.20), т. е. блоховские функции как
одноэлектронные функции в детерминанте Слэтера. Величины ср,-(<7*) есть
произведения блоховских
8 43]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЛОХА И ВАКЪЕ
181
функций на спиновую функцию. Для основного состояния мы используем N
функций валентной зоны, заданных числом N А-векторов зоны Бриллюэна | тку
(т-индекс зоны). Энергия основного состояния задается посредством
выражения (3.8). Мы можем сразу же произвести суммирование по спинам. Из-
за ортогональности спиновых функций в первом члене (3.8), наряду с
остающейся суммой по всем А-векторам, появляется множитель 2 из-за двух
возможных направлений спина. Во второй член, наряду с обеими суммами по
k, входит множитель 4 из-за четырех возможных комбинаций спинов. В
последний член вновь входит множитель 2, так как добавка к обменной
энергии получается только от электронов с одинаковыми спинами.
В итоге для энергии основного состояния в блоховском представлении
получается
Это выражение полезно еще преобразовать. Елоховские функции являются
решениями уравнения (3.20): (-(Д2/2т)Л -)- U(г)) \ mky = = Ет (k)' тку.
Входящий сюда потенциал U (г) есть сумма потенциалов решетки V (г) и
усредненного взаимодействия W (г): U (г) = V {г) -f- W (г). Тогда первый
член в правой части (43.1) можно записать в виде
Наряду с полной энергией из уравнения Хартри -Фока, используя блоховские
функции, мы получаем следующую одноэлектронную энергию:
В (43.3) уже произведено суммирование по спинам. Энергия ос-новного
состояния (43.1) есть, следовательно, сумма по всем одночастичным
энергиям (43.3), в которой надо считать только половину слагаемых
взаимодействия.
к' (ф k)
к' (ф k)
S (mk' mk' I \r-r'\\mk'' mk)} • (43Л)
к' (Ф k)
<mk\ Em (k)-W(r)\mky.
(43.2)
Wm (k) = <mk | Em (k) - W (r) | тку +
(43.3)
182 ВОЗБУЖДЕНИЯ в ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ИЗОЛЯТОРАХ [ГЛ. VII
Одночастичная энергия Wт (к) в блоховском представлении; в
противоположность Ет(к), зависит от заполнения других состояний.
Наряду с описанием с помощью блоховских функций часто бывает
целесообразно использовать другой способ описания-представление Ванье.
Здесь в детерминанте Слэтера используются вместо блоховских функций так
называемые функции Ванье.
Если принять во внимание периодичность блоховских функций в А-
пространстве, то их можно представить в виде ряда Фурье:
(А. Г) = -$=¦ У ат (/?", г) е'*-*". (43.4)
Rti
При обращении этого ряда Фурье получается выражение, определяющее функции
Ванье:
Г) = !&,,(*. r) = Y^lLeik'{r~Rn)Um (k' Г)•
k k
(43.5)
Величины am зависят от расстояния г- /?". Каждая из N различных функций
ат (*", г) сконцентрирована вокруг своего атома решетки /?". Функции
Ванье ортогональны по отношению к разным зонам т и различным /?". Это
следует из выражения
J <&(#?", г) ат, (/?",, г) dr =
r)dx=
k, k'
= ^е^^-'гл.)6ш, = 1/гйм,йш,.). (43.6)
k
Если построить детерминант Слэтера с помощью функций Ванье, то вместо
блоховской функции В]1 = ^{к1, г;) войдет функция Ванье WJl = am{Rl, г,).
Если теперь помножить детерминант Слэтера в блоховском представлении на
унитарную трансформационную матрицу U (Uu = N~1'2 exp(-г'йг-/?,)), то
место элементов Вп займут элементы Это, по (43.5), как раз и есть
элементы Wfi детерминанта Слэтера в ванье-представлении. Оба
представления переходят друг в друга с помощью унитарного преобразования,
и энергия основного состояния в обоих представлениях одинакова.
*) Автор воспользовался тем, что интеграл по dx от блоховских функций
равен Vgbmm-bkk" (ПРим- Ре9-)
Представление эксйтонов
183
§ 44. Возбужденные состояния- Представление эксйтонов1)
Рассмотрим теперь случай, когда электрон в состоянии т, к, s целиком
заполненной валентной зоны переходит в состояние п, к', s' ранее пустой
зоны проводимости. Так как в основном состоянии полный квазиимпульс и
полный_спин равны нулю, то возбужденное состояние имеет квазиимпульс
К=к'-к и спин (П/2) (s'-s).
Основное состояние описывается детерминантом Слэтера с блоховскими
функциями ¦'('"(ft,-, гj, s). Для описания возбужденного состояния мы
заменим блоховские функции (к, s)-ro столбца детерминанта функциями зоны
проводимости tyn{k\, ry-, s'). Энергию такого возбуждения можно легко
получить. Для основного состояния она задается уравнением (43.1).
