Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
поле), которое для ионов одной подрешетки будет положительно, для ионов
другой подрешетки - отрицательно. Такие поля, малые по сравнению с
обычными внутренними полями (см. ниже), наблюдались также
экспериментально. Их можно учесть в операторе Гамильтона с помощью
аддитивного члена типа
^B^f[|]5bz-S5cz] . (39.2)
При этом поле анизотропии мы обозначили через ВА, а обе подрешетки-
индексами а и Ь. Для нашего изложения нам пока не
168
СПИН ИОНОВ РЕШЕТКИ. МАГНОНЫ
[ГЛ. VI
нужно вводить поле анизотропии, однако позднее мы к нему вернемся.
Для каждой подрешетки мы с помощью преобразования Хол-штейна - Примакова
должны ввести собственные операторы рождения и уничтожения1). Тогда
возможен переход к операторам магнонов, аналогично (38.20). Подстановка в
(39.1) и разложение в ряд корней до членов второго порядка приведут к
операторам магнонов, и вместо (38.23) получим
Я = - 2NJvs* +
-f-2 J\S (раФак -f- ЬьФьк) "Ь 2 7* {pakbbk -\~Ьакbbk ) j • (39.3)
Здесь N - число ионов подрешетки. Первый член дает энергию невозмущенного
состояния. Второй член описывает спиновые волны в соответствующих
подрешетках. Третий член обозначает взаимодействие двух подрешеток, при
котором либо рождается, либо уничтожается пара магнонов, с эффективным
изменением спина, равным нулю. Это взаимодействие можно заменить
введением операторов магнонов, которые описывают комбинированные спиновые
волны обеих подрешеток.
Для этого вводят следующие операторы:
Cib - Ukbak Vkbbbi Clk - Ukbak Vkbbk > (39 4)
C%k ~ ^k bbk Vk bak " ^2 k~ Ukbbk Vkbafy,
с вещественными "*, v^, u\ - v\ - 1 и [сь 2*> ct 2*] = 1, [cut, c2*] = 0.
Величины и.i и vk определены так, что множители смешанных членов сцс2* и
cXkctu превращаются в нуль. Тогда остается
Н = - 2NvJs (s -f-1) -f- iftkCik "b CzkCzk0> (39.5)
k
где
Йсо* = -f 2/vs V1 - yl. (39.6)
Оператор Гамильтона содержит, наряду с энергией основного состояния,
оператор чисел заполнения магнонов. Каждому k соответствуют два магнона,
отличающиеся индексами 1 и 2. Энергия основного состояния системы (число
магнонов равно нулю) будет, очевидно, ______
Е0 = - 2NvJs (s + 1) + 2/vs S VI - yl (39.7)
k
Если бы ук = 0, то Е0 - - 2NJvs2 была бы энергия решетки со строго
антипараллельными спинами. Так как 0, то второй
*) См. Дополнение IX- (Прим. ред.)
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В РЕШЕТКАХ С БАЗИСОМ
169
член меньше, чем 2NJvs. Основное состояние, следовательно, не является
строго упорядоченным состоянием с антипараллельными спинами. Каждая
подрешетка обладает небольшим беспорядком по направлениям спинов.
Выражение (39.6) дает дисперсионное соотношение для анти-ферромагнитных
магнонов. Ветви магнонов, отличающиеся индексами 1 и 2, расщепляются во
внешнем магнитном поле. Для
малых k и простой решетки У 1 - yl~k. Здесь, следовательно, энергия
магнонов линейно растет с k, т. е. не так, как при ферромагнетизме.
Надо еще упомянуть поправку, связанную с введением стабилизирующего поля
анизотропии. Дисперсионные соотношения
(38.24) и (39.6) для случая, когда имеется внешнее магнитное поле В и
(в (39.6)) поле анизотропии ВА, имеют следующий вид:
fiv>k = 2 Jsv (1 - yk) + 2fiBB для ферромагне-
тиков, (39.8а)
fuak=2Jsv ]/(l+-^т!г)2-^±2^? для антиферромагнетиков, (39.86)
при этом В в обоих случаях можно делать произвольно малым.
Из экспериментальных результатов поле анизотропии ВА получается порядка
1000 Гс, т. е. тоже пренебрежимо малым по сравнению с Jsv/\iB (порядка
10е Гс). При k = 0, однако, vfe = l и (39.86) примет вид
7мо0 = 27sv Yirlr(1+i7§г) ~Vи^вВА- (39.9)
Так как здесь ВА входит в произведение с множителем Jsv,
то
может заметно отличаться от нуля. Тогда между основным состоянием и
состоянием с самым низким возбуждением появляется энергетическая щель.
Теплоемкость и намагничение теперь могут быть вычислены аналогично
ферромагнетику. Также может быть сформулирована теория ферримагнитных
магнонов. Мы ограничимся тем, что приведем дисперсионное соотношение для
простейшего случая, при котором в рассмотренном выше антиферромагнетике
спины подре-шеток имели разные значения (sa^sb). Пренебрежем опять полем
анизотропии, тогда получим
iha>k = Jv (V(sa - sb)2 + 4sasb (1 - y!) ± (sa - sb)). (39.10)
Для sa = sb отсюда вытекает соотношение (39.6). Дисперсионный спектр
обладает двумя ветвями, которые для & = 0 имеют значения 1ш0 = 0 или
2Jv(sa-sb).
t?0
СПИН ИОНОВ РЕШЕТКИ. МАГНОНЫ
ГГЛ. V"
Как правило, ферримагнетики имеют сложную структуру решетки. Тогда наряду
с найденными здесь ветвями спектра мы
найдем и "оптические" ветви. Пример сложного магнон-дис-персионного
спектра приведен на рис. 51.
Учет обменного взаимодействия ближайших соседей в различных подрешетках и
внутри одной подрешетки (железо-ит-триевый гранат) приводит к
изображенному спектру с четырнадцатью ветвями. Для таких спектров опять
полезна классификация с помощью теории групп. Симметрия пространственных
групп здесь будет ограничена тем, что одинаковые ионы с различным
направлением спинов теперь в основном состоянии убудут рассматриваться
