Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
В основном состоянии все спины одинаково направлены. Их 2-компоненты
имеют максимальное значение sz = s. Возбужденное состояние мы можем
описывать, задавая число единиц, на которое sz отличается от
максимального значения. Назовем это число п и припишем ему индекс
соответствующего иона, тогда каждое состояние будет описываться заданием
пг, п2, ..., nN (п = 0, 1, 2, ..., 2s). Это состояние мы можем теперь
описать в представлении чисел заполнения через вектор состояния | пи я2,
..., nNy для бозонов (Приложение А). Соответственно мы можем ввести,
согласно уравнению (АЛБ), оператор
рождения и оператор уничтожения. Тогда afaf есть оператор,
собственные состояния которого описывают отклонения спина /-го иона от
максимального значения.
Значения а+ и а легко получить из введенных ранее 5 + и5_. Для S± находим
из перестановочных соотношений1)
S/+ | "у> = V2s + 1 - tij Vtij I tij -1>,
Sj- I tij-У = V2s-tij Vtij +1 I tij + 1>, (38.18)
5/21 n/> = (s-fij) | rij-y,
где в волновых функциях указано состояние только /-го иона.
Сравнение (38.18) с (А. 15) показывает связь между а+ и а с S+, S_ и Sz\
5+=V^2s - а+аа, 5_ = а+ V2s-а+а , Sz = s-а+а. (38.19)
Для операторов в правой части двух первых уравнений следует
произвести разложение в ряд обоих корней.
х) См. Дополнение VIII, пункт 2. (Прим. ред.)
164 СПИН ИОНОВ РЕШЕТКИ. МАГНОНЫ [ГЛ. VI
Эту связь можно использовать для того, чтобы переписать оператор
Гамильтона (38.10) через операторы рождения и уничтожения (преобразование
Холштейна -Примакова).
Теперь целесообразно сделать следующий шаг. Величины af и aj изменяют
направление спина /-го иона. Однако мы уже видели, что такое изменение
спина из-за обменного взаимодействия распространяется на всю спиновую
систему. Следовательно, надо учесть преобразование операторов рождения и
уничтожения квантов спиновых волн. Это соответствует переходу от атомных
координат к нормальным координатам, как мы это делали перед квантованием
колебаний решетки. Соответствующее преобразование здесь будет
a?-VrEe'''S'W' = <38-20>
'к У к
Новые операторы тогда удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям
[Ьь, bt] = 6**s [bt, bp] = [bk, by] = 0 (38.21)
и, кроме того,
2 a/ay = 2 &* &*. (38.22)
/ ' *
Преобразование оператора Гамильтона к btbk наталкивается на трудность,
так как в (38.19) величины ajaj, т. е. суммы произведений bt и bk,
стоят под корнем. Если ограничиться малыми
отклонениями от основного состояния, т. е. малыми "у-, а это и
есть только та область, в которой применима концепция элементарных
возбуждений, то можно соответственно обрезать ряды, полученные от
разложения корней. Оператор S+ будет тогда представлять собой ряд с
операторами вида bt, btbk'bk" и т. д., а S_ -ряд с операторами bt,
btbt'bk" и т. д. К этому добавляются экспоненциальные функции с суммами
по к, к', к" в экспоненте.
При суммировании в (38.10) по i и j появляются такие соотношения между к,
к' и к", что Н в конце концов может быть записано в виде ряда. Члены
этого ряда четвертого порядка по Ьк для решетки с центром инверсии (ук =
у"к) будут иметь следующий вид:
н = Е0 + 2 2/vs (1 - Y*) btbk + k
+ w 2^ ¦ 2y*-k-a') bk-xbk'+xbk'bk "И •••" (38.23)
к, k'x
где у к опять определены через (38.15).
§38)
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
165
Первый член есть энергия основного состояния, второй член - энергия,
связанная с магнонами. Энергия одного магнона, по
(38.23), имеет вид, полученный уже в (38.16):
h<aj = 2Jvs(l - у*-). (38.24)
Оператор bt'ok есть оператор чисел заполнения магнонов. Дальнейшие члены
(38.23) описывают магнон-магнонное взаимодействие. Третий член содержит
специально процессы, при которых уничтожаются два магнона k и k' и
рождаются два магнона k-и и k'-j-a при сохранении общего импульса. Иначе
говоря, это процессы, при которых импульс х переносится с одного магнона
на другой. Этот член содержит также процессы, для которых и = 0 или k' =
k-K. Т акие члены вносят добавки к энергии магнонов (38,24) и могут быть
поняты как перенормировка энергии магнонов из-за обменного
взаимодействия. Это аналогично (11.17) для случая электронов Хартри -
Фока.
В качестве простого применения результатов мы оценим энергию магнонов и
их вклад в теплоемкость. Единственная разница по сравнению со случаем,
рассмотренным в § 34, заключается в различной форме дисперсионных
соотношений для фононов и магнонов. Тогда как при малых q энергия фононов
возрастает линейно, рост энергии магнонов квадратичен по k. Если мы
ограничимся изотропным случаем ~ &2, то для энергии, согласно (32.4),
следует:
Е==у &<"*----С d _к:"--------^ п - (38.25)
L+ k">k/kBT J к еак /т - 1 \ -1 V '
к ^ - I п
Здесь мы опять заменили суммирование в й-пространстве интегрированием.
Так как оценка справедлива только для низких температур, когда возбуждено
мало магнонов, то мы можем верхнюю границу магнонного дисперсионного
спектра &тах в интеграле заменить на бесконечность. Преобразование к
безразмерной переменной интегрирования выделяет множитель Т6^2 перед
