Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
бывает, что несколько электронов вносят свой вклад в полный спин иона
решетки. Состояние ферромагнетизма в этом случае будет определяться
обменным взаимодействием между этими полными спинами различных ионов
решетки.
-2U. г)
Рис. 50. Спиновые волны с волновым числом k в одномерной цепочке. Спины
прецессируют со сдвигом фазы вокруг выделенного направления магнитного
поля, а) Перспективный вид, 6) вид сверху, в) соотношения между спинами
трех соседних атомов. (По Морришу [98].)
Оператор Гамильтона для обменного взаимодействия может быть формально
заменен оператором, введенным Гейзенбергом1):
Я = - S' Jt/SrS/, (38.2)
здесь Jи-обменный интеграл, величины S{- векторные спиновые операторы г-
го иона решетки. Суммирование проводится по всем парам ионов решетки.
Спиновые операторы, входящие в (38.2), для случая s = 1/2 задаются
матрицами Паули:
0 I
1 0
с __L 2
(38.3)
удовлетворяющими перестановочным соотношениями
[Sx, SJ = jSv, (38.4)
где 'к, (д., \ = х, у, z и дальше циклично переставляются. Матрицы Паули
действуют на спиноры |^), и для обеих спиновых функ-
*) См. Дополнение VIII, пункт 1. (Прим. ред.)
§38] СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 161
ций аир будет
S,a = la, Sj = -|p, S2a = -|-a, S2p = |-p; (38.5)
следовательно, a описывает состояние с s2 = -f-y, а |3-состояние с
sz = - у. Собственное значение оператора S* равно
Ф+1) = Т •
Для полного спина s - ti/2 соответственно вводится спин-оператор S с
[S*,, Sp,] = iSv. Матрицы, соответствующие этим компонентам, тогда будут
("-)- 1)-мерными, и имеется п + 1 спиновых функций. Собственные значения
оператора Sz будут: -s, -s-f-1, ..., s - 1, s, а оператора S2:s (s-f-1).
Часто вместо операторов Sx и Sy вводят операторы S+ =Sx-\-iSy и S- = SX-
iSy. Для случая
s = y тогда
S+a = О, S+|3 = a, S_a = p, S_p = 0. (38.6)
Оператор S+, следовательно, переворачивает минус-спин на плюс-спин и
обратно. При s > оператор S+ увеличивает полный
спин на единицу, S_- уменьшает на единицу.
Дальше с помощью этих спин-операторов мы вычислим ожидаемое значение
оператора (38.2) в случае s = y для пары индексов i, /. Тогда получим
Еп = - Jи <a,.ay | Sr S, \ a,-ay), En = - J tJ <a,.py | 5,- • Sf |
(38.7)
или, используя (38.3) и учтя ортонормировку спиновых функций аир,
= "4" J и- (38.8)
Разность энергий между обеими возможностями, следовательно, Jи/2, а
разность между состоянием со всеми параллельными спинами и состоянием, в
котором г-й спин перевернут, будет 2 J;г12. Это согласуется с (38.1).
Таким образом, обменное взаимодействие формально задается оператором
(38.2), как будто оно является спин-спиновым взаимодействием. Так как
обменное взаимодействие между ближайшими соседями сильно преобладает, то
обычно ограничиваются этими членами, т. е., суммируя по I, берут только
члены, которые построены с /?у = Ri~\-jRb, где /?в является вектором от
t-ro иона
162 СПИН ИОНОВ РЕШЕТКИ. МАГНОНЫ [ГЛ. VI
к ближайшим соседям (6 = 1, 2, v). Если далее принять
Ji,t+e = J одинаковым для всех б, т. е. ограничиться простой решеткой, то
эффективное взаимодействие будет
Я = J 2Sin-e- (38.9)
i, 6 ' '
Мы принимаем, что в основном состоянии спины ионов решетки так
направлены, что z-компоненты спина имеют максимальное значение s. Для
волновой функции основного состояния мы построим произведение спиновых
функций |s>", которые описывают спин "-го иона в состоянии s: Ф0 = П|5>П-
Введем операторы повышения спина S+ и понижения спина S_ и запишем
оператор Гамильтона (38.9) в виде
(s^*+t^s/- + s*--s/+)) (/=*'+6)- (38Л°)
И
Применение этого оператора к основному состоянию дает энергию
?0 = - s2/ 2 1= - Js*vN, (38.11)
i. i+ь ' '
так как применение оператора повышения спина к функции с максимальным
спином дает нуль; v-опять число ближайших соседей иона.
Рассмотрим теперь такое состояние Фт = 5т_ П| s>", в кото-
П
ром т-й спин уменьшен на единицу. Тогда получим
НФт = / ^ (sizSJZSm_ -f-y (S,-+Sy_Sm_ -f-'5,-_Sy+Sm_)^ Ф0.
ч
(38.12)
Произведение операторов спина в правой части (38.12) можно преобразовать
с помощью следующих перестановочных соотношений, вытекающих из (38.4):
[S+,S_] = 2S*,[S_,SZ]=S_, [SZ,S+]=S+. Тогда получим
НФт = Е0Фт + 2/s 2 (Фм -Фт+в). (38.13)
Состояние Фт, следовательно, не является собственным состоянием Я. Оно,
скорее, должно быть сконструировано из всех вырожденных состояний Фт =
5т_Ф0: Ф=УояФя. Вследствие тран-
т
сляционной инвариантности решетки величины ат имеют вид Тогда
НФ = Я 2 е"-*"Фв = (?. + 2/vs(l -у*)) Ф, (38.14)
Ш
§38]
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
163
где
т* = тИе<*'*6- <38Л5)
б
Следовательно, энергия возбужденного состояния
Ек = E0 + 2Jvs{l - yk), (38.16)
где к (при циклических краевых условиях) ограничено N значениями внутри
зоны Бриллюэна ^-пространства.
Для малых k энергия
^ = ?0 + /s2(ft-/?6)s. (38.17)
Выражение (38.16), или соответственно (38.17), есть дисперсионное
соотношение для спиновых волн.
Для квантования спиновых волн мы будем исходить из следующих соображений.
