Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 142

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 160 >> Следующая

0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 1
2) = 1 0 0 0 > D (B) = 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
Это представление приводимо, так как %(С1) = 4, %(СЪ) = 2, все остальные
%(С,-) = 0. Это дает для суммы всех квадратов число 24(^ 8). В разложении
D = CiD, 0 с2Г>2 ф ... ф с5Г>5 величины с; задаются выражением
(1/8)2^<Х(С/)х(с'/). т- е- ЗДесь выражением (1/2) (% (С^ + х (С5)). При i
этом из таблицы характеров следует, . что ci = c4 = cs=l, все остальные
с,- = 0. Представление, следовательно, можно разложить в прямую сумму Di
ф Z)4 ф Z)5. Преобразование, которое приводит матрицы D к квазидиаго-
S4] ОБСУЖДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 369
нальному виду, связано в матрицей S:
( 1 -1 -1
1
S=-
1 1 1
1 -1 1
1 1 -1
S-! = S.
§ 4. Обсуждение решений уравнения Шредиигера с точки зрения теории групп
Теперь мы подошли к вопросу: что могут дать методы теории групп при
исследовании свойств собственных функций и собственных значений уравнения
Ш редингера?
Для этого рассмотрим уравнение Шредннгера
Я (х) г)) (x) = ?ij5 (х). (Б.8)
Пусть вектор х включает все переменные, от которых зависят Я и г|). Для
одночастнчных уравнений Шредннгера это будет обычное геометрическое
пространство. В этом пространстве мы определим преобразование
координат/?:
п
x'=Rx или х{ = 2 Rtf*/- (Б-9)
/ = 1
Функция (лс), выраженная через х', имеет новый вид: г|) (х) = г|/ (х1).
Для R целесообразно определить новый оператор 0^ выражением
¦ф' (х) = Од г|) (ж') = г|) (х) (Б.10)
илн
г|> (д:) = 0RiJ) (Rx) и O/jiJ- (д;) = я}- (/? - xjc).
Преобразованию функции, таким образом, соответствует обратное
преобразование координат. В § 18 я 25 мы определили операторы Т и S
противоположным образом. Оба случая возможны. Для общего формализма
(Б.10) целесообразней.
Если преобразование координат R образует группу, то Or, очевидно,
образует изоморфную ей группу. Следовательно, из R"R' - R следует, что и
0r"0r,=0r.
Если 0Rip(x) = ip(x), а следовательно, и i|) (Rx) - ij- (JC) для всех R,
то г|> инвариантно по отношению к операциям группы.
Пусть Я (х) - оператор, который действует на (Jc): <p (х) = Н (х) (X).
Тогда имеем Оду (х') = <р (x) - 0RH (х') ip (x')=OrH (х') Or-iOr$> (х')=
=0RH (х') 0R -, 1)) (х) = Я (х) 1|) (х), следовательно,
ОдЯ(x')Or-i = H (х). (Б.11
Если здесь опять Н(х) = Н(х'), то Я (х) называется инвариантом по отно'
шению к операциям группы и Я коммутирует с Or.
Рассмотрим теперь уравнение Шредннгера (Б.8). Среди возможных
преобразований координат могут найтись такие) которые оставляюг Я (х)
инвариантным. Эти операции симметрии образуют группу уравнения
Шредлнгера.
370
ПРИЛОЖЕНИЯ
Если одному собственному значению Е соответствует I собственных функций
i|)v(v=l, I) (/-кратное вырождение), то г|)у линейно независимы н
(которые вследствие 0%Нф = OgEty = Я (Одф) = Е (Оц\(?)-также собственные
функции к этому же собственному значению) может быть построено как
линейная комбинация
I
2 D^R)%, И- = Ь •••> I' (Б-12)
v= 1
Каждому Од, таким образом, сопоставлена (/Х/)-матрнца DVn(R). DVy. (R)
образуют представление группы l-я размерности. Линейно независимые
собственные функции i-кратно вырожденного собственного значения образуют
базис этого представления. Если фу ортонормированы, то представление
будет унитарным, так как
(V fv) = ^V = (0KV 0^v) = 2^I^pv(W = SZ)^pv=S Wpv
Я.р р р
или D+D = E.
От некоторого представления можно перейти к эквивалентному представлению,
если с помощью линейной комбинации i|)v построить новый базис. Если
представление приводимо, то с помощью перехода к новому базису его можно
разложить в прямую сумму, в этом случае /-кратное вырождение случайно.
Волновые функции при этом новом базисе распадаются на группы, которые
между собой еще вырождены по симметрии. Дальнейшее вырождение в этом
случае основывается только на количественных признаках. Это вырождение
может быть снято с помощью другого потенциала такой же симметрии в
операторе Гамильтона.
После того, как мы построили представление нз заданных базисных функций,
поставим обратный вопрос. Пусть задана группа симметрии G и ее не.
приводимые представления D (R). Как найтн систему функций //, которые об*
разуют базисные функции для этого представления?
Для этого1) определим гиперкомплексное число как формальную сумму всех
элементов группы с (комплексными) множителями а/:
Р= 2 °iRi- (Б-13>
1 = 1
Легко убедиться, что сумма н произведение гнперкомплексного числа с
другим числом опять являются гнперкомплексными числами:
Р + Г) = 2>*+6*)^ н pr)='^laibjRiRj='^lCiRt.
I il I
Пусть D будет унитарным представлением группы G размерности п. Тогда мы
определим рц = 2 D (R)*t,R, где D (R)*j нз-за унитарности равны D(R~l)ji.
R
1) Пояснения к изложенному ниже материалу см. в книге: Нокс Р., Голд А.
Симметрия в твердом теле. - М.: Наука, 1970, разд. 4.3, с. 42, а также в
[48].
(Прим. ред.)
§ 41 ОБСУЖДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 371
Применяя операцию S нз той же группы G (SR = R'), получим
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed