Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
знать так. называемые характеры представлений. Ниже мы приведем важнейшие
определения и соотношения. Некоторые вопросы, остающиеся при этом открьг
тыми, будут пояснены на примерах.
За) Шпур матрицы представления будем называть характером матрицы*
Sp (D(R)) = '?Dii(R) = x(R).
36) Все матрицы представлений одного класса имеют одинаковые характеры.
366
приложения
Зв) Так как D (Е) есть единичная матрица, то % (Е) равно размерности
представления.
Зг) Числа с,- в разложении приводимого представления D (R) в прямую сумму
неприводимых представлений (Б.З) задаются характерами этих представлений
согласно выражению
4 = j?x(Юxt W=j2А*х<с*)х* (с*)* <Б-4)
R k
где hft обозначает число элементов класса Сg-порядок группы.
Зд) Если Da н ?>р-неэквивалентные приводимые представления одной группы,
то для нх характеров будет
2 ta (Я) ч т = 2 A*xi (С*) Хр (Сй) = о. (Б.5)
R к
Зе) Для эквивалентности двух представлений необходимо и достаточно, чтобы
системы их характеров были одинаковы.
Зж) Необходимое и достаточное условие того, чтобы представление было
неприводимым, имеет вид J] I X (Ю l2=g-
R
Зз) Число неприводимых представлений группы равно числу ее классов.
Отсюда вытекает, что конечные группы имеют конечное число неприводимых
представлений.
Зн) Сумма квадратов модулей характеров неприводимого представления равна
порядку группы:
2 I Ха (*) I* = 2 I (С*) I*'=8- <Б-6)
R к
Зк) Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений группы
равна ее порядку: ? na=g- Это утверждение является специальным случаем а
более общего соотношения:
2xZ(Ct)Xa(C/)=(e/A/)6i/-
а
Зл) Под прямым произведением двух матриц мы будем подразумевать матрицу,
которая содержит все возможные произведения элементов умножаемых матриц.
Матричный элемент прямого произведения С = /4(r) В, таким образом, задается
выражением Счг - Aj^Bf^ где q пробегает все возможные значения пары (i,
/) и г-все возможные значения пары (k, /). Если, соответственно,
построить прямое произведение двух матриц представлений, то оно также
является представлением группы.
Зм) Для характеров представления произведения будет
X (К) = 2 °яя (#)= 2 = (#) X' (*)•
я I
§3] ХАРАКТЕРЫ 367
Прямое произведение двух неприводимых представлений может быть
приводимым:
D(R) = Da(R)(r)D^(R)= 2 WV*>-у=1
Тогда вследствие того, что % {R) - %а (R) Хр (R), н по аналогии с (Б.4)
для gafiv поЛУчается
(Б'7)
R
Выражения от Зг) до Зк) достаточны для определения всех характеров
неприводимых представлений конечной группы. Ояи объединены в таблице
характеров:
где Cj опять обозначают отдельные классы группы.
Вернемся опять к нашему примеру (октаэдра).
Характеры двухмерных представлений: % (Е) = 2, % (А2) = - 2, все
остальные будут нулями. Для трехмерных представлений %(Е) = 3, % (А) = %
И3) = 1, все остальные равны -1. Для двухмерного представления сумма
квадратов характеров равна 8, т. е. равна порядку группы. Следовательно,
она неприводима. Для трехмерного представления эта сумма равна 16.
Представление приводимо.
Число неприводимых представлений группы октаэдра равно числу
5
ее классов, т. е. равно пяти. Так как 2 = g=8, то при це-
a= 1
лых па остается возможным одно двухмерное и четыре одномерных
неприводимых представления. Таблица характеров определится следующим
образом: для четырех одномерных представлений Di(R)=%i(R). Если порядок R
равен p(RP = E), то это должно выполняться н для %(R). Величина %, таким
образом, есть корень р-й степени из 1 нли степень этого числа. Тогда
остаются следующие возможности: X/(Сх) = 1, %/(С2) = ± 1, ± I, ц(С3)=± 1,
(С4)= ± 1, х; (Съ) = ± 1. Прн этом С[ являются названными в начале
примера классами группы октаэдра в указанной там последовательности. Они
представляют собой 32 возможных комбинации, Мы, однако, уже знаем, что
среди D; имеется единичное представление (все )с/ = 0* Назовем его Dt.
Кроме того, по (Б.5), 2 (С<) (С<) ~0 для Р- Если п°Дставить сюда
а=1, то
3G8
ПРИЛОЖЕНИЯ
1*а (С,) = 1 и, следовательно, для Р = 2, 3, 4 ^ Л|'Хр== 0. Тогда
i
(Ci) + 2Xg (С2) -j- (С3) +2хр (C4)-|-2}(g (С,) = 0.
Это может выполняться, только если для характеров классов подставить ряд
значений 1, 1, 1, - 1, - 1, или 1, - 1, 1, 1, - 1, или 1, - 1, 1, - 1, 1.
Для двухмерного представления мы используем соотношение Зк) в виде
^ | ха (С,-) |2/г,- = 8. Отсюда получаются квадраты искомых характеров.
Если
а
использовать еще ^ (Q) = 0 и %Ъ(Е) = 2, то получим ряд
значений
i
2,0, - 2, 0, 0 и с его помощью таблицу характеров группы октаэдра'.
Ci c2 Сз
Dx 1 1 1 1 1
D2 1 1 1 - 1 -1
Ds 1 - 1 1 1 - 1
Di 1 - 1 1 -1 1
Db 2 0 -2 0 0
Представление П5 уже раньше приводилось в качестве примера двухмерного
представления.
В качестве примера приводимого представления рассмотрим изоморфную к
группе октаэдра группу ряда чисел 1234 и 2143 и их циклические
перестановки, т. е. группу матриц
1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 . D(A) 1 0 0 0
D(E) = 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0
