Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
А2 А2 Л3 Е Л} А2В А3 В В АВ
А3 А3 Е А А2 А* В В АВ А2 В
В В А3 В А2 В АВ Е А3 А2 А
АВ АВ В А3В А2 В А Е А3 А2
А2В А2 В АВ В А3 В А2 А Е А3
А3В А3 В А2В\ АВ В А3 А2 А Е
в) абстрактная группа, определенная тремя соотношениями: А* = Е, В2-Е,
ВАВ = А3. Группа октаэдра имеет пять классов: Сх = (Е), С2 = (Л, А3), С3
= (Л2), С4=(В, А2В), СЪ={АВ,А3В). Подгруппы будут: Я1=(?, А, А2, А3), Я2
= (?, А2, В, А2В), Н3 = (Е, А2, АВ, А3В), Я* = (?. А), Я5 = =(?,В), Я6 =
(?, АВ), Н1 = (Е, А2В), НВ = (Е, А3В).
§ 2. Представления
Для применений самой важной частью теории групп является теория
представлений. Прежде всего мы дадим некоторые определения н соотношения.
2а) Матричным представлением (нли, короче, представлением) группы G мы
называем любое множество матриц Dfa (одного ранга), которое образует
364
ПРИЛОЖЕНИЯ
гомоморфную группу к группе G. Каждому элементу R группы G тогда
сопоставлена матрица представления D(R), так что из АВ = С следует и D
(A) D (B) = D (С). Если это сопоставление одно-однозначно, то
представление называется точным.
26) Так как для каждой матрицы представления должна существовать обратная
ей матрица D~1 (R) = D (R*1), то матрицы представлений всегда
несингулярны.
2в) Два представления называются эквивалентными, если их матрицы могут
быть переведены одна в другую с помощью матрицы преобразования: S: D' (R)
= S~1D (R) S для всех элементов R группы G.
2г) Каждое представление с помощью эквивалентного преобразования может
быть приведено к унитарному виду, т. е. к виду, когда для каждой
матрицы!) (Я) справедливо D+ (R)=D* (R) = D~1(R).
2д) Шпуры эквивалентных матриц представлений для всех R равны
Sp(D(R)) = Sp(D'(R)) или У, D"-(R)= 2 Du (R).
? i
2e) Представление называется приводимым, если все его матрицы с помощью
эквивалентного преобразования могут быть представлены в форме
D^R) Q (R)
D' (R) = S~W(R) S =
О
D2(R)
(Б.1)
При этом Di(R) и Do(R) - квадратные матрицы, которые сами образуют
представления группы.
2ж) Если ?>' является унитарным представлением, то в (Б.1) Q(R) = О для
всех R. Так как по 2г) каждое представление может быть приведено к
унитарной форме, то всегда может быть найдено такое преобразование, что в
(Б.1) исчезают все Q(R). Если ?),• сами являются приводимыми
представлениями, то к ним применимы такие же преобразования, пока в новом
эквивалентном представлении ?>" все матрицы не преобразуются к виду D1(R)
О
D2 (R)
D3(R)
D" (R) =
неприводимыми Di(R).
О
Все
DAR)
(Б.2)
матричные элементы вне "блоков" (Я) являются нулями.
2з) Среди блоков вдоль диагонали матрицы (Б.2) могут появляться
одинаковые матрицы D{. Поэтому матрицу, приведенную к форме (Б.2), можно
записать формально в виде так называемой прямой суммы:
D" (R) - c%D1 (D) ф C4D2 (R) ф.. .(c) crDr (R). (Б.З)
Здесь с;-целые числа. Кружок вокруг знака плюс должен указывать на то,
что речь идет о формальном сложении.
2и) Представления абелевых групп могут быть всегда приведены к
диагональным матрицам. Это означает, что неприводимые представления
абелевых групп все одномерны.
ХАРАКТЕРЫ
365
В качестве примера рассмотрим опять группу октаэдра. Простое
представление этой группы можно найти при сопоставлении элементов с
двухмерными вращениями. Пусть А есть вращение на 90° в положительном
направлении, тогда произвольный вектор X (ХхХу) перейдет в Y (YxYy) с Yx
= -Ху
и Yy=Xx. Если записать это преобразование в форме Y=AX, К,-= 2 D (Л),-
^*.,
k
то матрица D (Л) будет выражаться в виде
0 - 1
D(A).
1
0
Если определить В как зеркальное отражение от оси у, то для матричных
представлений получится
0 -1
D (Е) - D (Л3)
D{A)-
D (Л2)
2\ =
0
0 - 1
0 - 1
D(A*B) =
1
0 -
О
D (А3В) =
I 0-11 D(AB) = 0|
0 1
1 О
Следующее представление мы можем получить, если перейдем к трехмерным
представлениям. Тогда при "Л"-операциях приведенная выше матрица
представлений должна быть дополнена до (ЗхЗ)-матрицы, где для i = k = 3
надо подставить 1, а для остальных - нули. Соответственно "В"-матрицы
должны быть дополнены -1. Оба эти представления одно-однозначные
(точные). Другим примером является тривиальное представление, при котором
каждому элементу сопоставляется единичная матрица (произвольного ранга).
Еще одним примером является одномерное представление, в котором "Л"-
элементам сопоставлена 1, "В"-элементам сопоставлена -1. Вышеприведенное
трехмерное представление, очевидно, приводимо, так как содержит вдоль
диагонали блоки: двухмерное представление и указанное выше одномерное
представление. По (Б.З), следовательно, трехмерное представление,
является прямой суммой обоих представлений.
§ 3. Характеры
Пусть задано произвольное представление D группы G. Тогда встают
следующие вопросы. Будет ли представление D приводимо или неприводимо?
Сколько имеется неприводимых представлений группы и какой они
размерности? Является ли разложение (Б.З) однозначным и как определяются
коэффициенты с,-? На все эти (и дальнейшие) вопросы можно ответить, если
