Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
dx2. Вывод
этого уравнения аналогичен выводу уравнения (А.31). Мы' здесь не будем
приводить это несколько громоздкое вычисление.
Б. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ГРУПП В ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА1)
Свойства симметрии кристаллической решетки позноляют сделать
целый
ряд выводов о свойствах твердого тела. Некоторые из этих выводов
мы уже
получили в предыдущих параграфах. Так, на трансляционной инвариантности
кристаллической решетки основывается представление зонной структуры
твердого тела, описание с помощью блоховских функций и определение
"электрона в кристалле" как квазичастицы (§ 18). Общие свойства симметрии
функции
х) Изложение материала в этом Приложении носит весьма конспективный
характер, поэтому для первоначального ознакомления с предметом оно
малопригодно. Более понятное и подробное изложение теории групп и ее
приложений к физике твердого тела см. в [48], а также в книгах: Ансельм
А. И. Введение в теорию полупроводников, -2-е изд., перераб.-М.: Наука,
1978, гл. II; Бир Г. Л. и Пикус Г. Е. Симметрия и деформационные эффекты
в полупроводниках.-М.: Наука, 1972. (Прим. ред.)
362
ПРИЛОЖЕНИЯ
En(k) вытекают из инвариантности кристаллической решетки к операциям
пространственной группы твердого тела (§ 25). Из рассмотрения
неприводимых представлений пространственной группы можно делать
дальнейшие выводы
о классификации решений уравнения Шредингера в одноэлектронной
проблеме,
о вырождении собственных значений энергии зонной модели и о матричных
элементах с определенной симметрией волновых функций. На эти вопросы мы
уже указывали в § 26. В настоящем Приложении мы хотим углубить
проведенное раннее рассмотрение.
Мы начнем с изложения тех вспомогательных методов теорнн групп, которые
существенны для теорнн твердого тела. Прн этом мы ограничимся приведением
важнейших определений и соотношений. В некоторых случаях, когда
доказательства оказываются очень громоздкими, мы вынуждены ссылаться на
литературу, приведенную в конце книги. Прн этом содержание и значение
приводимых соотношений мы будем разъяснять на примерах.
Обсуждение вспомогательных методов теории групп проводится на примерах
применения теорнн групп к теорнн зонной структуры, к дисперсионным кривым
фононов и к оптике твердого тела.
§ 1. Основные понятия теорян конечных групп
Совокупность элементов называется группой, если
1) существует такая операция, которая сопоставляет элементам А и В
элемент С, обозначаемый АВ = С;
2) эта операция является сочетательной: АВС = (АВ)С-А(ВС); ,
3) существует единичный элемент ?: ЕА - АЕ = А;
4) для каждого элемента А существует обратный элемент А*1, так что AA-
i = E = A-1A.
Таблицей умножения называют схему, которая содержит все произведения всех
элементов группы. В такой таблице каждый элемент появляется в каждой
строчке и каждом столбце один раз. Пример будет приведен ниже.
Следующие определения важны для дальнейшего обсуждения.
1а) Если в группе G для всех элементов А и В АВ = ВА, то группа
называется абелевой (коммутативной).
16) Число элементов g в группе называются ее порядком.
1в) Порядок элемента А равен показателю степени в выражении Ап = Е.
1г) Две группы G и G' называются гомоморфными, если для каждого элемента
А, В, С группы G существуют элементы А', В', С' в груцпе G', такие, что
из АВ = С следует, что и А'В' = С'. Если соответствие одно-одно-значно,
то группы G и G' называются изоморфными.
1 д) Элемент В называется сопряженным элементу А, если В = Х~'АХ для
произвольного элемента X из группы G.
1е) Класс элемента А охватывает все сопряженные элементы Х~1АХ, где X
пробегает значения всех элементов группы G. Так как А~1АА = А, то А
принадлежит к этому классу. Каждая группа может быть однозначно разложена
иа классы.
$2]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
363
1ж) Подгруппой Н группы G называется h ее элементов, которые сами
образуют группу с такими же операциями.
В качестве примера рассмотрим группу операций симметрии, которые
сохраняют инвариантным октаэдр, изображенный на рнс. 106 (группа
октаэдра). Этими операциями являются четыре вращения вокруг оси г на 0°,
90°, 180°, 270° (элементы Е, А, А2 и А3), вращение на 180° вокруг оси х
(или оси у) (элемент В) н эти вращения с последующими вращениями на 90°,
180° нлн 270° во-круг оси z (элементы АВ, А2В, А3В).
С помощью таблицы умножения этой группы (см. таблицу) легко проверить
следующие результаты.
Группа октаэдра неабелева; ее порядок g = 8-Порядок элемента Е равен 1,
порядки элементов А2,
В, АВ, А2В и А3В равны 2, и порядки А н А3 равны 4. Гомоморфной к
группе октаэдра G является, например, группа G', состоящая из элементов
Е' и В', если сопоставить Е' элементы Е, А, А2 и Л3 и В' - элементы В,
АВ, А2В, А3В. Изоморфными к ней будут среди других: а) группа симметрии
кубической решетки; б)ци:<личгсхкелересганозк:ирядэ чис ел 1234 н
перестановки 1234->-4231;
Рис. 106. К определению группы октаэдра.
Е А А2 А3 В АВ А2В А3В
Е Е А А2 А3 В АВ А2В ASB
А А А2 А3 Е АВ А2В А3 В В
