Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
При этом мы для сокращения записали | пк у вместо | пг ... nk
... у. Выражения (А.14) выполняются для N+ ("*) = ]/"fe + l.
N- ("*) = ]/ "fe > и Т0ГДа
а+|щ ... nfe ...> = У'п* + 1 |"i ... "fe + l ...>, ^
afe|"i ... nk...y = Y4\ni ...nk - \ ...>.
ПРИЛОЖЕНИЯ
359
Каждый собственный вектор ... пк ...у, очевидно, может быть получен
повторным действием оператора рождения на вакуумное состояние | 00 ... 0
...>:
)щ...Ч.. .> = ("*)"*... (<.+)"• | О ... О .. .>. (А. 16)
2. Соответствующее представление мы можем ввести для фермионов. По
принципу Паули тогда каждое состояние может быть занято только одной
частицей. В собственных векторах nk могут принимать значения только 0 н
1. Отсюда следует для операторов рождения и уничтожения, которые мы
обозначим соответственно и ck, первоначально
с* |°> = |1>- = **|0> = 0, сй|1> = [0>. (А-17)
Кроме того, мы должны еще выполнить требования принципа Паули о том, что
собственные векторы антисимметричны. Это значит, что при перестановке
двух частиц меняется их знак. Для того чтобы определить такую
перестановку, расположим nk, например, по величине относящихся к ним
собственных значений. Принцип построения собственного вектора из
вакуумного состояния, в согласии с (А. 16), будет
| OiI.I. • • • 1* • • -> = (-l)*+I ... с*+ ... с+ с* 10А ... 0* .. .>
(А.18)
и соответственно
ckck'=='~'ck'cb' ckck'- ck'ck (k Ф k'). (A.20)
Это надо понимать так, что в последовательности по п рождаются частицы в
состояниях 2,3, ...,&. Вопрос о знаке определится из (А.23). Таким
образом, теперь имеет значение последовательность операторов.
Перестановка двух частиц означает перестановку двух чисел заполнения nk,
nk, в собственном векторе, т. е., по (А.18), перестановку двух ck в
правой части. Так как с перестановкой должна быть связана перемена знака,
то
°k °k' ~ с*'г?* • (А. 19)
Это правило антикоммутативности выражает тот факт, что при ранее
использованном способе записи собственные векторы являются детерминантами
Слэ-тера, у которых также меняется знак прн перестановке двух строчек.
Для 4t=k' справедливо (А. 19) и первое уравнение (А.20) тоже справедливо,
так как " в этом случае, по (А.17), произведение с? или, соответственно,
ckck уже само дает нуль. Для второго равенства (А.20) из (А.17) следует:
ck°t |0> = |0>, с* cft|0>=0,
ck°k 11>=0* cftcft|l> = |l>>
и, следовательно,
'ck cj+c+ck = u или [ck, Cp]+ = (A.22)
Для ck тогда справедливы те же перестановочные соотношения, что и для ak
( только вместо коммутаторов появляются антикоммутаторы. Соотношения (А.
17)
360
ПРИЛОЖЕНИЯ
вместе с правилами перестановки приводят к уравнениям, аналогичным
(А.15):
ct\...nk...y...y\-nk (-l)v*|.•¦"* + ! ...>f
где vk = 2 щ. Пря этом множятель, определяющяй знак, дает знак положа
жятельныя, есля в собственном векторе налево от nk стоят четное чясло
занятых состояняй, я отряцательный знак, есля это чясло нечетное.
Теперь мы должны исследовать, как преобразовать квантовомеханическяе
уравненяя яз пространственного представленяя в представленяе чясел запол-
неняя. Для этого рассмотрям простейший случай оператора Н, который
составлен аддитявно яз одночастячных операторов Л(г,-): = Он может
(
действовать на волновую функцяю, которая описывает бозоны. Тогда Ф
задается комбянацяей, январяантной относятельно перестановкя частяц:
Ф = Уй\1\п2\ : ^ ф"фр (Гг)' ''Фя (г/) "'Фо) (fN-•' (А,24)
где сумма пробегает по всем перемещеняям а, (3, ... и группы с
индексами
щ, п2 равны
= ^ <а-25>
X i
Прямененяе оператора Н к функцяя Ф дает
ЯФ - 1__ ??ф a (П) Фр (''г) • • • Лфх, (Г,-) • • • фш (ГМ).
(А.26)
V ¦¦¦ i р
Так как h (r,j Ф^ (г,-) = ^ ф^< (г/) <А/ |/г|Я> (пря матрячном элементе,
не завя-X'
сящем от г), то 1 N
ЯФ== Y- Фа (ri) фр (гг) •• (Mriv) <V|A|X>. (А.27)
'•"(= IV Р
Запишем теперь Ф в виде | щ .. .>, тогда в сумме надо разлячать два
случая:
Фя = Ф?/-
2 <Я | Н | Ху | /ij ... пх .. .> = 2 п% <к | h | | % ....
пх .. .>; (А.28)
i к Ф* 56 Ф?/:
2 И l/ ^^<Г|/1|Я>|п1...пя,+ 1 ...пя-1 ...> =
? Х'{фХ) г *¦
= S УчУ'ЪЯГ1\^---п-А'+1 ...><V|A|b>. (А.29)
XX'
(%фХ')
ПРИЛОЖЕНИЯ
361
Эти случаи можно с помощью (А.8) и (А. 15) объединить:
Н | п-i ... . . .> = 2 <А/ | h | А> ауа^\ n-i.. .Пу .. .п^ .. .>.
(А.30)
Х'Х
Таким образом, в представлении чисел заполнения оператор
Я== 2 Л (г') = 2 I I Я> аХ'аХ ' (А.31)
i % %
где <V | h | Я> = J rp*x, (ri) ft (rt) <px (/4) с^.
Уравнение (A.31) справедливо (при с^ вместо a^) и для фермионов. Это
вытекает из антисимметричной формы волновой функции (3.7), которая может
быть записана и в виде
Ф = УШ И(_1)Р<ра(<2'1)(Рв ^ • • ¦ *Ри (4n)- (А.32)
Измененные множители при отдельных членах суммы ничего, однако, не меняют
в аргументации. При этом надо принять во внимание, что Я в (А.31)
нумерует состояния. В сумму, следонательно, включено и суммирование по
спинам.
Соответственно можно показать, что для двухчастичных операторов Н= (г<'
Г/) слеДУет:
<7
н= 2r/)= 2 <^у (А-33)
t'/ АА'цр/
где <Я'(х' | h | А,ц>= ^ (n) ф*. (r2) h (r 1, r2) (rj ф^ (r2) dxx
