Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
говорим о процессах переброса, или U-процессах (Umklapp- переброс (нем.)-
, см. § 49). Если ограничиться ^-процессами (Кт = 0), то в бесконечно
протяженном, не содержащем дефектов кристалле тепловое сопротивление
равно нулю.
Значение процессов переброса иллюстрируется рис. 104, где в процессе
взаимодействия два фонона q' и q" поглощаются и один фонон q рождается.
Мы пока не интересуемся, к каким ветвям колебаний принадлежат фононы. В
зависимости от направления q" вектор q = q' -j-q" лежит в зоне Бриллюэна
(Л^-процесс) или вне ee(t/-процесс). Если редуцировать в последнем случае
вектор q посредством вектора -К, то в ^/-процессе q будет направлен
противоположно q' и q". Суммарный импульс Q в результате такого процесса
уменьшится на К-
При этом несущественна неоднозначность в выборе зоны Бриллюэна в q-
пространстве. При смещении зоны Бриллюэна определенные ^/-процессы
становятся N-процессами, и наоборот. Можно показать, что, как бы ни была
выбрана зона Бриллюэна, полный вклад ^/-процессов в диссипацию суммарного
квазиимпульса будет одним и тем же.
Мы уже указали в § 52, что для расчета явлений переноса в фононной
системе может быть использовано уравнение Больцмана
r'grad,g = (f)cT. (91.1)
Здесь g = gj(r, q, t) - функция распределения фононов, подобная функции
распределения электронов fn(r, k, t). Мы должны, следовательно, и здесь
строить волновые пакеты из состояний qj\ при этом размеры этих волновых
пакетов в г- и ^-пространстве должны быть связаны соотношением
неопределенности. Все параметры теории, зависящие от г и q, не должны
практически меняться в пределах волнового пакета. В дальнейшем г и q
будут определять центр тяжести волнового пакета.
Рассмотрим вначале столкновительный член. Число фононов в элементе объема
dqdr меняется в результате следующих четырех процессов "рассеяния": а)
фонон qj поглощается, два фонона
12 о. Маделунг
Рис. 104. Поглощение двух фононов, связанное с испусканием третьего
фонона. Представлен нормальный процесс и процесс переброса.
354
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
[ГЛ. XI
q'j' и q"j" испускаются, б) qj испускается, q'j' и q"j" поглощаются,
в) кроме qj поглощается - q'j', и q"j" испускается, г) кроме qj
испускается -q'jи q"j" поглощается. Процессы а) и в) уменьшают, два
других увеличивают число фононов в элементе объема dqdr.
Вероятность перехода имеет вид (49.10) с оператором Н3 вида
(89.4). Следует учесть, что при суммировании множитель 1/3! выпадает, так
как имеется 3! членов Hs, вносящих в вероятность перехода одинаковый
вклад. В качестве полной вероятности перехода получим выражение
Множитель 1/2 в последнем члене связан с тем, что при двойном
суммировании по q' и q" процессы а) и б) считаются дважды.
Для того чтобы перейти к столкновительному члену, надо числа заполнения
фононов п для отдельных процессов в (91.2) заменить на
среднестатистическое п, т. е. на функцию распределения g. Мы разделим
функцию распределения на равновесную часть g0 (бозе-распределение
(exp(hoiq/kBT) - I)-1) и отклонение б g.
В полевом члене r*gradrg уравнения Больцмана (91.1) можно пренебречь
величиной бg, и тогда получим, ввиду dgJdT = = ^o(go + l)%(9)/fesT'? и г
= grad9o)y (q), выражение (91.3).
При равновесии столкновительный член равен нулю; это следует из (91.2),
если заменить п на g0 и воспользоваться законом сохранения энергии. В
неравновесном состоянии мы можем, подобно (52.14), положить 6g = g0 (g0
+1) 67 и заменить суммирование по q' интегрированием по z(q')drq'. Тогда
получим для уравнения следующий окончательный вид:
go (?0 +1) %
-^rjgrad^co-grad Т =
32n2N
Здесь q" определено из условия q = q', + q" + Km. Так как q" должно
лежать в бриллюэновской зоне, то при заданных q и q' вектор Кт определен
однозначно.
§91] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 355
Рассуждая так же, как в случае уравнения (52.10), можно показать, что
Л/'-процессы недостаточны для того, чтобы привести к состоянию равновесия
любое нарушение фононного распределения. Если положить 8y~cq, где с -
вектор, не зависящий от q, то для одних N-процессов правая часть (91.3)
равна нулю; существующий при этом тепловой поток будет сохраняться.
15 --------------
10
х;Вт/(см-Ю
5.0
2.0 1,0 0,5
0,2 0,1 0,05
0,02
2 5 10 20 50 100 200 300
"¦Т,К
Рис. 105. Теплопроводность германия. Только общая для всех кривых ветвь
при высоких температурах обусловлена фонон-фононным взаимодействием.
Добавки примесей разных концентраций существенно уменьшают
теплопроводность при низких температурах. (По Карузерсу и др. (Ргос.
Phys. Soc. 238,
502, 1957).)
Решение уравнения Больцмана (91.3) затруднительно; можно и в этом случае
применить вариационный метод. Мы отсылаем читателя к литературе, например
к Займану [20] и Лейбфриду [60, VII/1].
Здесь мы ограничимся двумя высказываниями.
Для низких температур процессы переброса маловероятны. Вероятность
процесса, при котором фонон q распадается на два фонона q' и q",
