Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
~Яг
§ 89]
СМЕЩЕНИЕ ЧАСТОТЫ И ВРЕМЯ ЖИЗНИ ФОНОНОВ
347
множитель) для обратного времени жизни Г (qj):
Здесь со;- - частоты, относящиеся к фононам
Другой путь определения времени жизни связан с нахождением добавки к
"одночастичной энергии" частоты со9/, связанной с ангармоническими
членами Я, и Я4. При учете этих членов частота со?/ смещается на величину
Д (qj). Эту добавку лучше всего определить методом функции Грина. Так как
в настоящей книге этот метод не рассматривается, мы ограничимся
несколькими указаниями.
На энергию колебаний решетки влияют все трех- и много-фононные процессы,
при которых распределения фононов в начальном и конечном состояниях
совпадают. Член Н3 привносит в это только посредством двухступенчатых
процессов, так как каждый единичный процесс вызывает изменение чисел
фононов. Двухступенчатые процессы представлены на рис. 103. Можно видеть,
что первый частичный продесс, ведущий к виртуальному состоянию, совпадает
с одним из восьми трехфононных процессов, изображенных на рис. 102.
Добавка к энергии, обусловленная двухступенчатыми процессами, согласно
(50.8), состоит из членов вида
Суммирование производится по всем восьми промежуточным состояниям,
изображенным на рис. 103. Таким образом, мы получим выражение, по своей
структуре похожее на (89.6): вместо дельта-функции стоят энергетические
знаменатели Еп - Ет\ кроме того, необходимо суммировать по восьми
процессам, в то время как в (89.6) четыре процесса складываются, а четыре
- вычитаются. Это последнее обстоятельство отражает как раз правильное
чередование знаков в сумме (89.7) -энергетические знаменатели последних
четырех процессов на рис. 103 имеют обратный знак по сравнению с первыми
четырьмя.
Сделаем еще важное замечание по поводу энергетического знаменателя. При
переходе от конечной основной области к бесконечной энергии Еп образуют
непрерывный континуум и сумма в (89.7) превращается в интеграл. Мы можем
игнорировать полюс Еп - Ет, если добавим к знаменателю мнимое слагаемое
iб, с тем чтобы впоследствии б устремить к нулю. Мы можем использовать
1 <пг | Н3 | п) Г2 Еп Ет
(89.7)
т (фп)
Дч ?'Х ^ ^ Ь 'я
¦%Г? ^ "V,
^ ?,- ¦?,- ' 4?2 -г. -?.. ""¦"
?/, *Л/ ? ¦*
^ 7 ^ Г^ч
z, /wvwv> Г VWV^-ff ffwww"- ,>ЛЛЛЛ-э-/7 /JVWi" 'WvW*-/T
Hz Hz ~h ~tl -Hz
Рис. 103. Фонон-фононные процессы, которые ведут к перенормировке
фононной энергии
90]
АНГАРМОНИЧЕСКАЯ ДОБАВКА. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ
349
тогда уравнение (13.13) и получим
lim
En-
id
= Р
где символ Р указывает на главное значение интеграла. Выражение (89.7)
приводит тогда к добавке А (<у/) + г'Г (<у/) к энергии, причем Г (qj) в
точности совпадает с обратным временем жизни
(89.6). Мы нашли, таким образом, второе, более общее определение времени
жизни элементарного возбуждения.
Вещественная часть (89.7) означает добавку к энергии или частоте,
определенной в гармоническом приближении. К этому следует добавить часть,
связанную с возмущением первого порядка от Я4, так как для
четырехфононных процессов может сохраниться число частиц. Два
соответствующих процесса тоже даны на рис. 103. Все процессы первого
порядка не содержат энергетического знаменателя, т. е. мнимой части. Они
ничего не привносят в время жизни. Для вещественного смещения частоты
получаем в совокупности для Я3 и Я4
д (Qi)--
41
Ф (- Qi. Qi, Qiii, ~ Qiii) I2
(2rtx+l) +
4ih
9di
16 N(x>
V |Ф(~5'Уь^2)|2А(^ + ^-^х
- Ч1иЧги 4lL 4'U
(rt1 + rt2 + 1) j p(-l--
0 -0i -05
CO -r 01 - I C02
+ ("1 -"2)
1
CO -|-- - 02
0 - 01 j - СО о
(89.9)
Это смещение частоты надо учитывать, например, при определении частот
фононов в резонансных экспериментах (рассеяние нейтронов и др.). Конечное
время жизни проявляется в этих случаях в расширении линии.
§ 90. Ангармоническая добавка к свободной энергии. Тепловое расширение
Гармоническое приближение гл. V не описывает тепловое расширение, т. е.
температурную зависимость постоянной решетки. Положения равновесия ионов
решетки определяются минимумом потенциальной энергии и считаются
независимыми от температуры. Среди параметров этого приближения
постоянная решетки явно не фигурирует. Рассмотрим, например, частоту
фононов со9/, ко-
350 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ IXЛ. XI
торая для линейной цепочки дается выражением (30.18). Постоянная решетки
фигурирует в нем в комбинации qa. Так как q = 2n/aN - целое число, то
постоянная решетки вновь выпадает. В гармоническом приближении не только
отсутствует тепловое расширение, но и одинаковы адиабатические и
изотермические упругие константы (независимо от давления и температуры),
а также не зависит от температуры удельная теплоемкость выше температуры
Дебая. Все эти результаты строго не выполняются при учете решеточного
энгармонизма.
Неявно постоянная решетки содержится и в гармоническом приближении. В
самом деле, средний потенциал Ф0 и силовые постоянные (§ 33) зависят от
равновесного положения ионов. Если энгармонизм решетки учитывается более
