Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
По поводу фонон-фононного взаимодействия существует ряд хороших обзоров.
В особенности мы рекомендуем изложение Лейбфрида и Людвига в [57.12],
[61.43], [60. V11/1 ] и Каули и Кочрана в [64.XXXI/1 ], [60.XXV/2a];
далее, статьи Крамханзла в [49], Клеменса [57.7] и Мендельсона и
Розенберга в [57.12]. Кроме того, назовем соответствующие глэбы в книгах
Пайерлса [29] и Займана [20].
§ 89. Смещение частоты и время жизни фононов
Фононы в гармоническом приближении - невзаимодействующие элементарные
возбуждения, характеризующиеся собственными частотами w-(g). При учете
ангармонических членов в операторе Гамильтона эти частоты смещаются.
Одновременно можно определить среднее время жизни фонона как среднее
время его существования в состоянии qj, определяемое его взаимодействием
с другими фононами.
Первый член, опущенный в гармоническом приближении в функции Гамильтона
(оператора Гамильтона), имеет вид
• п a i \
#з = -*зУ ^ \ П а * ) ^nai Sn'a' i' Sn"a"i"' (89.1)
ii'i" \tl Ct/ i / aa'a"
Здесь snai - i-я компонента смещения a-го базисного атома в п-й ячейке
Вигнера-Зейтца.
Для Ф здесь имеет место ряд соотношений симметрии. Мы отметим только
трансляционную инвариантность Ф, т. е. неизменяемость Ф при прибавлении к
/?", /?"* одной и той же при-
митивной трансляции Rm (смещение начала координат в эквивалентную точку
другой ячейки Вигнера-Зейтца). Из этой инвариантности следует, что (89.1)
содержит множитель Д (qr-f q' -j-q"), который равен единице, когда сумма
q равна нулю или примитивной трансляции в пространстве обратной решетки,
и нулю в остальных случаях. В самом деле, из (31.2) следует, что snai в
(89.1) содержат множители exp (iq-Rn), но тогда можно из (89.1)
СМЕЩЕНИЕ ЧАСТОТЫ И ВРЕМЯ ЖИЗНИ ФОНОНОВ
345
выделить множитель
пп'п" \П СЛ I /
(89.2)
Вторая сумма в этом выражении не зависит от п, что легко видеть, если
перейти от суммирования по Rn' и Rn" к суммированию по Rn-Rn и Rn" - Rn и
воспользоваться инвариантностьюФ. Первая же сумма, согласно (31.3), дает
указанный выше множитель.
Если теперь, используя (31.2) и Приложение А, перейти к операторам
рождения и уничтожения фононов, то
Члены пятого и более высокого порядка нам не понадобятся. Коэффициенты
Ф(#/, q'j', q"j") и Ф(qj, q'j', q"j", q "/"') легко определить из (89.1)-
(89.3) или из соответствующих уравнений для Я4.
Оператор Гамильтона (89.4) описывает трехфононные взаимодействия,
оператор (89.5) - четырехфононные взаимодействия. При трехфононных
процессах меняется число фононов. Имеется четыре основных процесса:
поглощение фонона с образованием двух других фононов, поглощение двух
фононов с образованием другого, одновременное исчезновение трех фононов,
одновременное рождение трех фононов. Две последние возможности, очевидно,
нарушают закон сохранения энергии. Однако мы должны их
w = yikr^(ъЬ)1/2в"Н0е','*и(*-,/+м (89-3)
" /?
(мы пишем сид1- вместо м¦(</)); для Н3 получим
х (a-gi +а?/) {a-q'i' ~haq'l') (a-q"i" ~\~ aq"i") ¦ (89.4)
Аналогично для члена четвертого порядка получим
EV & <D(qi, q'j', q''j", ^
Л M , /-------------------^
X&(q+q'+q"+q'")X(a+-qj + agj) (atq,r + arr) (atri" + ari~) x
x{aLq-"j'" + aq'"j'',). (89.5)
346 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XI
учитывать как виртуальные, промежуточные состояния при многоступенчатых
взаимодействиях. На рис. 102 показаны все возможности исчезновения или
возникновения фонона gj. Мы определим время жизни фонона как обратное
значение вероятности, что некоторый фонон gj исчезнет в результате одного
из названных процессов. Для этого необходимо сложить вероятности для
Рис. 102. Диаграммы трехфононных процессов взаимодействия. В процессах
первого ряда один фонон q исчезает; в процессах второго ряда один фонон q
возникает.
первых четырех процессов на рис. 102 и вычесть отсюда вероятности для
четырех дальнейших процессов, при которых фонон возникает.
Если не интересоваться численными множителями, то нетрудно написать
выражение для времени жизни. Каждая частичная вероятность содержит
квадрат матричного элемента перехода, помноженного на дельта-функцию,
гарантирующую закон сохранения энергии. Второй закон сохранения дается
множителем А (д + д' + д"), из которого следует, что сумма волновых
векторов участвующих фононов сохраняется с точностью до примитивной
трансляции в пространстве обратной решетки. Поэтому необходимо с
осторожностью использовать часто употребляемое выражение "закон
сохранения импульса".
Квадраты матричных элементов отличаются для всех восьми частичных
процессов только числами заполнения фононов пг ц п2. Для рассматриваемого
фонона мы положим в первых четырех процессах рис. 102 tiq~ 1, для четырех
остальных - я9=0. Мы можем объединить частичные процессы в пары, четыре
из них- с множителем (nt + 1) (га2 + 1) - п,я2 = пг + я, + 1, четыре
других- в пары с множителем д3(п2-|-1) - га2 ("•,-]-1) = л,- п2. Тогда в
целом получим (включая не определенный нами численный
9г -Ч,
