Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
объяснить теория сверхпроводимости, - это эффект Мейснера-Оксенфельда, т.
е. тот факт, что при охлаждении сверхпроводника, помещенного в магнитное
поле, ниже температуры перехода Тс магнитный поток из него вытесняется.
Ввиду фундаментального значения этого эффекта мы ему посвятим следующий
параграф.
В качестве последнего связанного со сверхпроводимостью явления мы укажем
на квантование потока. Уже феноменологическая теория Лондона
предсказывает квантование магнитного потока, пронизывающего
сверхпроводящее кольцо. Величина кванта потока оказывается равной %с/2е*,
где е*-заряд частиц, создающих в кольце незатухающий ток.
Экспериментально находят, что
33G
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. X
е* = 2е, т. е. двойному электронному заряду. Это находит свое объяснение
в теории БКШ, что незатухающий ток создается ку-перовскими парами.
Пока мы обсуждали явления только в таких сверхпроводниках, которые
подчиняются теории БКШ. Это в основном свойства так называемых
сверхпроводников I рода. На возможности теоретического обобщения в
описании сверхпроводников мы укажем в заключительном § 87.
§ 86. Эффект Мейснера - Оксенфельда
Для объяснения эффекта Мейснера - Оксенфельда, т. е. вытеснения
магнитного поля из сверхпроводника, рассмотрим общий случай
сверхпроводящего электронного газа в магнитном поле. Поле будем описывать
вектор-потенциалом А. В качестве калибровочного условия выберем div .4=0.
Тогда необходимо оператор Гамильтона дополнить членом вида
н' =~( Р + ^а)~~~р^^(р-А + А-р). (86.1)
2т у 1 с J 2т ^ 2тс
Так как мы собираемся ограничиться слабыми полями, то опустим в (86.1)
член порядка А2.
В первую очередь нас интересует обусловленная магнитным полем плотность
тока
i = ^ (^* grad г|>-г|> grad я])*) - Ля|Л|). (86.2)
Запишем вначале (86.1) и (86.2) в представлении чисел заполнения. Для
этого мы используем прием, которым раньше не пользовались, но который, по
сути дела, вытекает из Приложения А. Заменим в (86.2) волновую функцию
полевыми операторами согласно
Г--7=Хе~1'*','с*+0' ,!>_ 1 ?е'''-'с*.0.. (86.3)
g ka ' е ft'o'
Здесь cl и с*--операторы рождения и уничтожения электронов. Теперь i
становится следующим оператором плотности тока:
kk'oo'
= 2>"'г I {-щг, <2* -*-=?} <*-"•¦ -'V <".4)
q kaes' q
Правая часть этого уравнения может рассматриваться как фурье-разложение
оператора.
ЭФФЕКТ МЕЙСНЕРА - ОКСЕНФЕЛЬДА
337
Так как мы используем произведения с*-с* с одним направлением спина, то
мы можем в дальнейших уравнениях суммы по а, а' заменить суммированием по
одному индексу.
Уравнение (86.1) может быть преобразовано аналогично. Образуем для этого
вначале энергию взаимодействия
\р-А + А р I \ру.
Используя (86.3), получим отсюда оператор
X. ^ zi("~k)'l'A-i (k+ k') dr ctaC/so-
li'
2tncV
(86.5)
(86.6)
kk'aa'
H'
2 mcV a
или если еще ввести фурье-разложение вектор-потенциала и ограничиться
суммированием по одному направлению спина, то
е% ¦ ? f е'' + • (k + k')dxclGck.a -
hk'qiу
= ш'?лА<-(2к-д)с*°с*-<-°- (86-7)
t-qa
Образуем математическое ожидание плотности тока. Для этого разделим i на
два слагаемых соответственно выражению (86.4). Обозначим эти слагаемые
через и /2.
Математическое ожидание для /2 равно
/,тг Уе-"-У
q ка
е2А
<г\>
mcV а \
/W
ЧЛ =
mcV р
Сказка
ка
\р
е-п .
---------А.
(86.8)
При этом мы использовали то, что, в соответствии с (83.4) и (83.5),
матричный элемент справа дает число частиц независимо от того, описывает
ли I^F) нормальный проводник (к которому могут быть применимы с+, с) или
сверхпроводник (для которого с +, с должны быть сначала преобразованы в
а+, а).
Для определения математического ожидания /1 необходимо сначала произвести
преобразование к а+,а. Для этого вначале просуммируем по спину:
е^ (2k-<7)е'? г
kq
2 mVo
{pk - q\Ck \ "Ь" Ck-q\,Ck{)> (86.9)
и заменим во втором суммировании k - q на-k и k на-(k-q). При этом
изменится только знак перед вторым слагаемым:
е^ ¦ (2k - q) е'ч-г
--Z
kq
2mVp
qC%
(86.10)
338 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ [ГЛ. X
Отсюда и из (83.2) следует:
= Xl ~"2^|-(2Й-<7)ei,?'r {("*_,u* + d*_,i>*)x
X (cLk - q<%k СС-. k^ - ^k-q) ) ~f" (Ufy-qVfc UkVfc-q) (оСд._ gGC_ -
СС^СС_ g))} •
(86.11)
Мы сразу же используем некоторое приближение. В конце расчета мы
ограничимся предельным случаем q->¦ 0. Тогда Uk-q=Uk, Vk~q=Vk- Если с
самого начала использовать эти выражения, оставив остальные q, то (86.11)
упрощается и переходит в соотношение
г1 = ^[-2Шг(2к-<1)е1д,г} (";?-,"*-о^*а_(*_"). (86.12)
kq g
По сравнению с (86.10) изменяются только обозначения операторов.
Если применить те же рассуждения для Н' в (86.6), то получим
Н' ^)С_а) да
кЧ fi
" ^ Л -(2& -<7) (а*а*-9 - а±(й_9)а^). (86.13)
bq
Для образования математического ожидания / используем в качестве волновой
функции (ср. (50.7))
| м>! - | ">о+ V + • • • > (86.14)
т (=5*=0)
где I п}0 - волновые функции сверхпроводника без магнитного поля. В
противоположность /а, матричный элемент которого на волновых функциях
