Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично условию (83.8), мы определим теперь А (Г) из выражения
А (7) = У >] u,.-v,y(\ -2М- (84.6)
V
Тогда вместо (83.11) получим
_________
Г - (1 - 2 f( У(Г))) . (84.7)
4 J }Ае2_|_Д2(Г) \ < \ кП1 j ) К '
-h Vq
Это уравнение определяет А (7). Явное решение невозможно, однако можно
видеть, что (84.7) при 7 = 0 переходит в (83.11). Сростом
температуры А (7) непрерывно уменьшается. При некоторой
определенной температуре Тс величина А (Тс) становится равной нулю. Мы
определяем эту температуру как температуру перехода, выше которой
сверхпроводимость исчезает. Мы еще к этому возвратимся. Выше Тс нужно
положить А (7) равным нулю. Мы можем это сделать, так как для получения
(84.7), так же как из
(83.10), еыносится множитель А (7), поэтому А = 0-тоже решение исходного
уравнения.
Для дальнейшего обсуждения преобразуем (84.7). После деления на Vz(Ef)/4,
использования (83.12) для получения А (0) и
§85]
СРАВНЕНИЕ С ОПЫТОМ
331
разделения интеграла в правой части на два получим для левой части 2 In
(2^со9/А (0)), для первого интеграла ппавой части 2 In (2fiWq/A (Г)), и
поэтому, в приближении А (0)<^Я(r)9, окончательно получим
Ш - 2 Г_j*l_ f (V&+1 МD f
Д(0) 1 + A(°) U(°)J У gV
0
А(Г) ЛвГ A (0) 'Д(О)
(84.8)
Это уравнение содержит только приведенную энергетическую щель А (Т)/А (0)
и приведенную температуру kBT/A (0). Отсюда следует, что температура
перехода Тс, определяемая из условия А(Тс) = 0, линейно зависит от Д(0).
Численное интегрирование дает
kBTc да 0,57 А (0). (84.9)
Тем самым мы можем приведенную температуру kBT/А (0), входящую в (84.8),
заменить через Т/Тс. Если выражать энергетическую щель и температуру в
приведенных единицах, то (84.8) дает связь между ними, не содержащую
других параметров (см. рис. 100). В этой форме (84.8) справедлива для
всех сверхпроводников со слабой связью (А (0) %шч = %aD).
§ 85. Сравнение с опытом
Одной из главных особенностей сверхпроводимости является ее появление н
:же некоторой критической температуры Тс. Из
(84.9) следует, что произведение kBTс по порядку величины равно
половине энергии связи куперовской пары при Т = 0; энергия связи в свою
очередь, согласно (83.12), пропорциональна произведению энергии
виртуального фонона и экспоненциального множителя, зависящего от энергии
взаимодействия V и плотности состояний г (Ef) на поверхности Ферми. Из-за
предположения
о слабом взаимодействии V энергия связи А (0), а следовательно и
kBTc, мала по сравнению с %шч. Если принять для максимальное значение
дебаевского приближения (r)D, то получим, что температура перехода
сверхпроводника Тс мала по сравнению с дебаевской температурой. Это
подтверждается экспериментально. Типичные значения Тс лежат между 20 К
(для некоторых сплавов ниобия) и 0,01 К (для вольфрама). В то же время
дебаев-ские температуры металлов почти всегда выше 100 К.
Второе следствие для температуры перехода можно получить, используя
линейную зависимость между Г,, и со9. Величина со9 - частота
акустического фонона, которая в дебаевском приближении (35.16)
пропорциональна р-1/а, а следовательно, и М_1/2 (М - масса иона). Мы
ожидаем поэтому для изотопов сверхпроводящего
332
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. X
металла закон вида МаТс = const с а -1/2. Действительно, этот
изотопический эффект был первым экспериментальным указанием на то, что
решеточные колебания как-то участвуют во взаимодействии, связанном со
сверхпроводимостью. Значения а немного отличаются от 1/2, что
свидетельствует о том, что пренебрежение
всеми другими взаимодействиями, кроме взаимодействия БКШ, является
слишком грубым приближением.
Простое доказательство существования энергетической щели
Рис. 97. Край поглощения сверхпроводника (индий). Фотоны поглощаются
только тогда, когда они обладают энергией 2Д, достаточной для разрушения
куперов-ской пары. (По Блэкмору 14].)
Рис. 98. Плотность состояний zs (в) для сверхпроводящего электронного
газа. Из-за появления энергетической щели состояния нормального
проводника переупорядочиваются. Много выше Д ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ ZS--2И.
2А (Т) в сверхпроводнике можно ожидать при исследовании оптического
поглощения. Подобно полупроводникам и изоляторам, и здесь оптическое
поглощение должно начинаться с пороговой энергии, которая в
сверхпроводнике равна энергии 2А (Г), необходимой для разрушения
куперовской пары. Это подтвердилось на опыте. Пример показывает рис. 97.
Экспериментальные трудности таких измерений велики, так как частота со =
2А(0)/Д" ^ 4kBTc!% лежит в интервале от Ю10 до 1012Гц, т. е. расположена
в далекой инфракрасной области.
Весьма плодотворным методом являются туннельные эксперименты,, при
которых измеряется ток, текущий из металла сквозь тонкую оксидную пленку
в другой металл. Для понимания этого явления рассмотрим вначале плотность
состояний в сверхпроводнике. Состояния, описываемые в нормальном
проводнике функцией zn(E)dE, переупорядочиваются из-за наличия
энергетической щели в сверхпроводнике. Так как при этом ни одно состояние
