Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
области возбуждение, описываемое а-опера-торами,- не электрон и не дырка,
а некоторая сложная смесь их. Мы можем вычислить А, если подставим (83.9)
в определение А:
д = = (83.10)
Решение А = 0 (исчезающее взаимодействие) нас не интересует, поэтому мы
можем (83.10) сократить на А. Остается уравнение типа (82.8). При
преобразовании суммирования в интегрирование необходимо учесть два
обстоятельства. В противоположность (82.8), суммирование по k означает
теперь, в согласии с нашим условием
о спиновых индексах, суммирование по спинам одного направления. В
интеграле надо, следовательно, использовать г(Е)/2 (тг(Ер)/2). В качестве
границ интегрирования надо взять энергии, для которых V исчезает. Мы
ограничим, как в последнем параграфе, V областью | е (&) | ^ Аа>9. Тогда
+ h(j)q ч-Ь(Од
1=^ f_?iiyL"K?Hd Г -g-, (83.11)
4 J yV , Д2 4 J J/V_|_A2 V '
-n(Og -пЫд
откуда следует:
Д = 2Йсо,е (83.12)
Величина А совпадает с энергией связи куперовской пары (см.
(82.9)). Энергию основного состояния легко вычислить из (83.7).
326 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ [ГЛ. X
Если мы от (83.7) отнимем //"ed, получаемое из (83.5), то в качестве
разности редуцированных гамильтонианов для случаев с взаимодействием и
без него получим
tfred~tf?ed = 22e(?)^-2 2 8 (k)-V^U!tV*Uk'Vk-. (83.13) k k<tip kb>
Так как в это выражение не входят операторы, то это и есть искомая
энергия, на которую отличается основное состояние взаимодействующего
электронного газа от основного состояния невзаимодействующего
электронного газа. При подстановке сюда (83.9) для искомой энергии
получим
V f - 'г Л2"/ V f^-'с'лу + А2'
(83.14)
Отсюда, посредством перехода к интегрированию (опять только для одного
направления спина), следует:
hu>q
<83л5>
Это соотношение легко интегрируется и ведет к выражению
+ (8316) При этом последнее преобразование справедливо только в случае
слабого взаимодействия (A<<Z.fmq).
Выражение (83.16) - энергия конденсации нового основного состояния. В
этом выводе мы не использовали волновую функцию основного состояния. Эту
волновую функцию, которую мы обозначим через |0>, можно получить, если мы
подействуем а-операторами на вакуумное состояние- "пустуюферми-сферу"
(|vac>).
Полная ферми-сфера для невзаимодействующего электронного газа может быть
построена, если мы "уничтожим дырки" во всех состояниях k<.kF. Из (83.2)
и (83.3) следует:
Д k | vac> = Д (ukck - vkc+_k) (ukC-k + vkc+) | vac> =
= Д c+cij vac> = |0>. (83.17) k<kp
Для взаимодействующего электронного газа необходимо только использовать
для и* и и* значения (83.9), тогда
| vac> == Д(u\dfi-k+uhvk (с.4с+ -c+ftc_*) + u|c+c+ft) | vac> = ft k
= Д (utVk + vlc?c+k)\vac->. (83.18)
§84]
ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
327
Выражение (83.18) еще не нормировано. Так как <vac III (ukvk + и|с_,.с*)
[ukvk + v\c+ctk) I vac> =
k
к
k
к
то нормированная волновая функция основного состояния
Сразу видно, что в основном состоянии выступают только куие-ровские
пары(^[', --k\).u\ - вероятность того, что два состояния с
противоположными k и а не заняты, v\ - что они заняты. Если в (83.19)
произвести умножение, то появятся члены с различным числом операторов
рождения пар. Таким образом, (83.19) не есть состояние с определенным
числом частиц. Мы можем, однако, рассматривать (83.19) как выражение для
волновой функции, определяя ик и из условий варьирования, требуя минимума
энергии. Так первоначально действовали Бардин, Купер и Шри-фер. Таким
образом можно получить результаты, выведенные выше другим способом.
Вариацию надо провести при фиксированном числе частиц. Мы должны,
следовательно, в качестве дополнительного условия потребовать А/= const.
Это может быть выполнено посредством дополнения до варьирования к
оператору Гамильтона члена - XN. Множитель Лагранжа X окажется равным
химическому потенциалу, т. е. энергии Ферми ЕР. В этом истинная причина,
почему мы перед (83.5) перешли от Н к //неполученные пока результаты
привели только к понижению энергии основного состояния. То, что с этим
явлением связана сверхпроводимость, обнаруживается лишь при рассмотрении
возбужденных состояний. Это мы и выполним в следующем параграфе.
Наинизшие возбужденные состояния мы будем описывать
посредством квазичастиц. Их рождение и уничтожение связано с операторами
а+ и а*. Эти операторы вводятся посредством преобразования Боголюбова -
Валатина (83.2). Соответствую-
щие квазичастицы называют иногда "боголонами". Они отличаются в ряде
пунктов от введенных ранее квазичастиц. Особенно следует вспомнить
результаты предыдущего параграфа, согласно которым такая квазичастица для
энергий Е^>ЕР-{- А -электрон в состоянии k\, а для энергий Е <<с; ЕР-А -
дырка в состоянии-k\. В области ширины 2А вокруг ЕР реализуется сложная
смешанная форма обоих состояний.
(83.19)
k
§ 84. Возбужденные состояния
328 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ [ГЛ. X
Энергия одной из этих квазичастиц может быть легко получена из (83.4) и
(83.6). Оба уравнения содержат кроме членов, соответствующих основному
