Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
ЕР-(- К(дд ; так как, кроме того,
: ft.. К. то области суммирования по ft-пространству в (82.1)
изображаются заштрихованными частями на рис. 94. Они становятся
наибольшими при К= 0. Мы ограничимся в дальнейшем этим случаем и
дополнительно примем, что спины обоих электронов антнпараллельны. В этом
случае (82.1) примет вид
Фг, = "(й)с++с^;|0>. (82.2)
k
В дальнейшем мы не будем индексы спинов записывать в явном виде, а
условимся считать, что с ft связан "спин вверх", а с-ft "спин вниз".
Вычислим теперь энергию электронной пары с волновой функцией (82.2).
Введем еще следующее приближение, которое только и позволит выполнить
вычисления: мы положим величины Vhk'q в области притяжения между
электронами постоянными (т. е. Vkk'q = -V); тогда оператор Гамильтона*
(81.11) примет вид
H=YaE (k)C + Ck - \YlCUqC-k-qC-bCh \ (82.3)
k kq
V ф 0 только для | Е (k -+- q) - Е (ft) | ^ haq . Для выберем какую-
либо характеристическую частоту фононного спектра, например дебаевскую
частоту a>D (§ 32), максимальное значение со9 в рамках дебаевского
приближения. Для энергии в этом случае
Рис. 94. Вспомогательный чертеж для определения ^-векторов двух
взаимодействующих электронов, которым соответствуют состояния в слое h(0q
над энергией ?>; предполагается, что суммарный волновой вектор электронов
K=k 1 + ^2 задан.
КУПЕРОВСКИЕ ПАРЫ
321
получим
Е = <ф | Н | ф> = 2 У ? (ft) | а (Л) |2 - V 2 a*(ft + <7) а (ft). (82.4)
к hq
Величины a (ft) мы определим, варьируя Е при дополнительном условии У | a
(ft) |2 = 1:
*"
-4г/^ - Я XI а (?") |Л = 2? (ft') a (ft') - K^fl(ft'-<?)- Xa(ft') = О,
"ай' \ч Ь" ) q
(82.5)
или
(2 ?(ft)-A,)a(ft) = l/?a(ft'). (82.6)
kf
Мы удовлетворим ограничивающему условию для взаимодействия, считая, что V
отлично от нуля только в области от Ер до Ер^- %шд. То же тогда имеет
место и для a (ft), и сумма в
(82.6) распространяется тогда на конечное число ft'. Если мы
обозначим эту сумму через С, то получим
а(Щ = 2Е (k) - X ' ^а{Щ=С = ]L< ~2Е (ft) -X ' (82.7)
v ' к ?(*) v '
Здесь надо суммировать по всем состояниям между и EF~\-fiu)q.
В качестве последнего шага мы вновь обращаемся к уравнению (82.6). Беря
от этого уравнения комплексно сопряженное, умножая его на а (к) и
суммируя по ft, получим, если положить Я, = ?, уравнение, совпадающее с
(82.4). Тем самым мы определим параметр Лагранжа к и можем теперь второе
уравнение
(82.7) записать в виде
Е j7"f- fliOg
IB#- <82-8)
?(*)
F
При преобразовании суммирования в интегрирование мы ввели
плотность состояний г(Е). Из-за того что область интегрирова-
ния узка, можно положить z(E)Atz(EF). Тогда интеграл может быть вычислен
и мы получим
2&(0о ехр (-^ -Л ---?-
Е = 2ЕР-----------^tt2Ep-2hcoge z{Ef)V , (82.9)
при этом правое равенство справедливо только для малых V (слабое
взаимодействие).
11 О. Маделунг
322
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. X
Таким образом, энергия электронной пары меньше их минимальной энергии 2ЕР
в отсутствие взаимодействия. Можно показать, что все другие решения
(82.4) ведут к энергиям >2ЕР. Таким образом, наиболее глубокое
энергетическое состояния электронной пары - их связанное состояние.
Связанные электронные пары обозначаются, как куперовские пары. Электроны
пары имеют противоположно направленные волновые векторы и анти-
параллельиые спины. Мы не будем доказывать, что состояние с
противоположно направленными спинами энергетически выгодно. В то же время
мы должны отметить, что вывод уравнения (82.9) заведомо предполагает
антипараллельность спинов. Если бы мы предположили в (82.2) спины
электронов параллельными, то из-за антисимметрии пространственной части
волновой функции постоянная С в (82.7) была бы равна нулю. Предположение
об анти-параллельных спинах было, таким образом, существенно при переходе
от уравнений (82.7) к (82.8).
Наличие связанного состояния для пары электронов означает, что их
возбуждение из состояний непосредственно под поверхностью Ферми в
состояния над ней ведет, в рамках нашей идеализированной модели, к более
низкой энергии пары. Таким образом, заполненная ферми-сфера нестабильна и
можно получить выигрыш в энергии системы за счет образования куперовских
пар. Это - исходная идея для объяснения основного состояния
сверхпроводящего электронного газа, к которому мы теперь обратимся.
§ 83. Основное состояние сверхпроводящего электронного газа
Рассмотрим электронный газ, который описывается оператором Гамильтона
(82.3); выпишем его еще раз, выделив спиновые индексы:
H = ^E{k)c?cCko-k'o'C-ko'Clto• (83.П
ho kk'
афо'
Взаимодействие, таким образом, возникает между парами (k, а), (-k, а').
Константу взаимодействия V мы опять принимаем постоянной и считаем ее
отличной от нуля только в узком слое вблизи поверхности Ферми.
В качестве подготовки представляется целесообразным рассмотреть
невзаимодействующий электронный газ с несколько иной точки зрения. Если
мы заполненную ферми-сферу будем рассматривать как "вакуум", то
возбужденные состояния, согласно § 5, можно рассматривать как процессы
