Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
эвристического приема можно добиться совпадения (81.2) с (81.3), если
положить
VW, = - |м, Hi----------------!----------+ т------------!---------1=
1 4 \%щ +{E(k+q) - E(k)) -(E(k + q)-E(k)) f
__ _______2 I Mg htiiq_____ ,gj ^
(E (k + q)-E (Ь))*-(%щ)* '
где Vub'g имеет смысл коэффициента Фурье искомого эффективного
взаимодействия. Если V положителен, то взаимодействие соответствует силам
отталкивания, если V отрицателен - силам притяжения. Последнее имеет
место, если | Е (к-j-q) - Е (к) | <.fmq .
Эти замечания служат только тому, чтобы сделать наглядным существование в
электрон-электронном взаимодействии сил притяжения. Теперь мы должны
привести более точный вывод, для того чтобы оценить необходимые
аппроксимации. Для этого мы
318 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 1гл. X
исходим из оператора Гамильтона для системы электронов и фононов,
взаимодействующих друг с другом:
н = 2 Е (k) c+ck + 2 Н а+ач + % Mq (а+.+ aq) с++ qck =
к q kq
- tfo + tfel-ph. (81.5)
Мы хотим привести Я к виду, содержащему члены электрон-электронного
взаимодействия. Для этого мы подвергнем Я каноническому преобразованию
Я, = е-,Яе* = (1-8+...)Я(1+8+...) =
= H + [Hs] + ±[[Hs]s}+...=
= #0~b^el-ph_f-l^0s]-f-[^el-phs]4'-rr[[^os]s]4' • • • ==
= Н0 + (Яе,-Ph + [Я05]) 4- -1 [(Яе,.рЬ + [ВД) s] + 1 [Яе1-р1,в] + . . .
(81.6)
Члены, опущенные в последней строке, порядка Яеi.phS2. Если мы выберем s
порядка Яе1-Рь. т. е. положим его пропорциональным ад или а+ и двум с*, и
определим s из условия Яе1-Рь+[Я05]=0, то в (81.6) останется член
Я,=Яв + у[Яе1-рЬ5]+..., (81-7)
где теперь в операторе взаимодействия стоят произведения из четырех с-
операторов.
Для оператора s мы выберем форму, аналогичную Не\.ръ из (81.5):
5=2^<?(аа^9+Юс*+/*- (81-8)
kq
Подстановка этого выражения в условие Яе1-Рь + [Я08] = 0 дает a-l = E{k)-
E(k + q)-1u"q , р-" = Е (к) - Е (k + q) + fmq . (81.9)
Если подставить эти выражения в (81.7), то окажется, что член
взаимодействия содержит большое число термов с с-частыо вида
ck+qck'+q,ck'ck • Они описывают двойные процессы, при которых
два электрона из состояний к и k' переходят в состояния k + q
и k'+q'. Из этих процессов нас интересуют только те, в которых q' - - q.
Все остальные ничего не добавляют к эффективному электрон-электронному
взаимодействию. Мы опускаем их, поскольку они для нас несущественны.
Тогда остается член взаи-
§82]
КУПЕРОВСКИЕ ПАРЫ
319
модействия вида
#. = #о + у / Z I1" {(а+? + ) (а а+ + ра_9) c++qck с+_ /*'} -
\kk'q
- ("а9+ + Рa.q){a±q + aq) c+_qck'c++qck = ^o + IS |Л1?|2(а-Р)ct+qct'-
qck-ck. (81.10)
kk'q
Преобразованный оператор Гамильтона содержит кроме членов, которые
пропорциональны двум или более фононным операторам, следующие члены, от
них не зависящие:
Н$ = ??|[к) °+kCk ,2 {E{k+q)-EW-M
(81.11)
Пока мы ограничиваемся этими членами, мы можем при образовании матричных
элементов проинтегрировать по фононной части волновой функции. Операторы
будут тогда действовать только'на ту часть волновой функции, которая
описывает электронную систему.
Второй член в (81.11) представляет собой эффективное взаимодействие,
входящее в уравнения (81.3) и (81.4).
§ 82. Куперовские пары
При исследовании в гл. III взаимодействующего электронного газа мы не
учитывали возможности притяжения между электронами. К этому, даваемому
уравнением (81.4), взаимодействию необходимо, конечно, добавить
кулоновское взаимодействие. Какое из этих взаимодействий отзывается
большим, обусловлено величиной электрон-фононной связи.
Для того чтобы лучше понять особенности этого нового взаи*' модействия,
рассмотрим идеализированный случай: невзаимодействующий электронный газ
заполняет ферми-сферу в Л-простран-стве. Все состояния под kF, ЕР заняты,
над kF, ЕР-свободны. Добавим к этой системе два электрона (кг, Е (кг)) и
(к2, Е [к2)). В качестве взаимодействия между этими двумя электронами мы
предполагаем отрицательные Vkk'q выражения (81.4). Процессы
взаимодействия с обменом фононов должны, следовательно, идти при | E(k +
q)-Е (к) I < 1mq.
Мы строим волновую функцию пары посредством применения двух операторов
рождения к основному состоянию | G> (заполненная ферми-сфера); при этом
мы суммируем по всем возможным
320
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. X
значениям ftx и к2 (\ki\^kF) и по электронным спинам:
^12 = 2 (82.1)
Для того чтобы образовать состояние с фиксированным полным импульсом, мы
выполним суммирование в (82.1) при дополнительном условии К- fti + ft2 =
const.
Энергия электронной пары состоит из суммы энергий отдельных электронов и
энергии их взаимодействия АЕ. Наша задача заключается в вычислении этой
энергии взаимодействия. Она тем больше, чем больше в нее вносят члены
суммы в (82.1). АЕ принимает наибольшее значение при К = 0. Это можно
увидеть, если рассматривать пару электронов непосредственно над
поверхностью ЕР. Взаимодействие имеет место только в том случае, когда
электроны находятся в состояниях вне ферми-сферы с энергиями Е (ft,-) ^
