Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
[97].
Глава X
ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ПОСРЕДСТВОМ ОБМЕНА ВИРТУАЛЬНЫМИ ФОНОНАМИ.
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§ 80. Введение
Рисунок 57 в начале гл. VIII на с. 193 содержит диаграмму взаимодействия,
которое мы не исследовали пока более подробно: электрон испускает
виртуальный фонон, который поглощается другим электроном. Отсюда следует
эффективное дополнительное электрон-электронное взаимодействие.
Физическая основа этого явления проста.
Как следует из § 50, эмиссия электронами виртуальных фононов означает не
что иное, как деформацию (поляризацию) решетки в окрестности электрона.
Если другой электрон попадает в область этой поляризации, то он
испытывает к первому электрону силу притяжения или отталкивания, которая
не имеет ничего общего с кулоновским взаимодействием электронов.
В следующем параграфе мы исследуем это взаимодействие более подробно. При
этом выяснится, что при определенных предположениях оно является
притяжением. Если это притяжение превышает кулоновское отталкивание, то
между электронами возникает корреляция, которая приводит к снижению
энергии основного состояния. Корреляция возникает преимущественно между
парами электронов с противоположно направленными спинами и волновыми
векторами (куперовские пары). В § 82 мы исследуем отдельные куперовские
пары, в § 83 -основное состояние электронного газа с взаимодействием,
имеющим характер притяжения.
В § 84, рассматривая возбужденные состояния такого взаимодействующего
газа, мы покажем, как они могут быть использованы для объяснения явления
сверхпроводимости. Существование энергетической щели между основным
состоянием и наиболее низким возбуждением легко приводит к объяснению
незатухающих токов в светопроводнике. В § 85 мы дадим краткий обзор
316
g СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. X
главнейших свойств сверхпроводников. При этом мы обнаружим, что некоторые
из этих свойств объясняются изложенной в предыдущих параграфах теорией. В
качестве дополнения мы покажем в § 86, как теоретически объясняется
эффект Мейснера -Оксен-фельда, сводящийся к вытеснению магнитного поля из
сверхпроводника.
Наконец, в § 87 мы кратко остановимся на дальнейших экспериментальных
фактах и их истолковании. При этом мы обсудим границы применения
изложенной теории и возможности ее дальнейшего расширения.
Содержание этой главы в большей своей части совпадает с оригинальной
работой Бардина, Купера и Шрифера (Phys. Rev. 108, 1175, 1957). По
начальным буквам фамилий авторов этой работы теорию часто называют
теорией БКШ. Мы, правда, при изложении результатов будем следовать иному
пути, более близкому понятию элементарных возбуждений. Используемый нами
метод связан с работами Боголюбова.
Сверхпроводимость -замкнутая область, по которой существует большое число
монографий. Мы особо отмечаем в списке литературы книги [112-116].
§ 81. Эффективное электрон-электронное взаимодействие
В начале гл. VIII мы упомянули об электрон-электронном взаимодействии,
связанном с обменом виртуальными фононами (рис. 57,ж). Этим
взаимодействием мы теперь и займемся. Для электрон-фононной связи мы
используем уравнение (49.9):
^ei-ph = Мд (fl-q dq ) С*+ qCk . (81.1)
kq
Этим мы ограничиваем себя /,Л-фононами и пренебрегаем процессами
переброса. Суммирование по спину в (81.1) мы включили в индекс k. В
последующем можно без труда его выделить. Для свободных электронов
матричный элемент, согласно (49.9), зависит только от д.
На рис. 93 еще раз изображен процесс взаимодействия. При этом рассмотрены
две равносильные возможности: переход виртуального фонона q от электрона
k' к электрону k и переход виртуального фонона -q от электрона k к
электрону k'. Тогда оба возможных виртуальных промежуточных состояния
)?!>: электрон k, электрон k' - q, фонон q,
| z2>: электрон k', электрон k + q, фонон - q.
Числа фононов в начальном и конечном состояниях одинаковы. Если
обозначить начальное состояние через jа>, а конечное -
§81]
ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
317
через |е>, то взаимодействие описывается выражением
- ?1 мч К <g I с*+9 Ск ач IZl> <Zl I с* °ь' ач 1a> I
2 kk'q 4 I E(k')-E(k'-q)-%tog
, < el ct'-g Cfe,g_g|z2><z2| 4+gcfta^|a> \ g
E(h)-E(k + q)-1i&g j '
Из-за закона сохранения энергии можно в знаменателе первой дроби заменить
Е (к') - Е (к' - д) на E{k + q) - E(k). Множи-
Рис. 93. Эффективное электрон-электронное взаимодействие посредством
обмена
виртуальным фононом.
тель 1/2 в (81.2) учитывает, что при суммировании по k, k' и q каждый
член в фигурной скобке проходит через оба промежуточных состояния.
Если рассматривать выражение (81.2) как матричный элемент единичного
процесса электрон-электронного взаимодействия, то мы должны (ср. с
уравнением (11.14)) привести его к виду
Y '5L<e\vkk'4c++qc+_cick'Ck\a>. (81.3)
kk'q'
Так как число фононов в начальном и конечном состояниях одинаково, мы
вычеркнули в (81.2) а+ и aq и исключили также промежуточное состояние, т.
е. объединили оба матричных элемента в один. В результате такого
