Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Законы сохранения энергии и импульса требуют, чтобы при поглощении фотона
и испускании одного фонона до тех пор, пока не учитываются процессы
переброса, энергии и импульсы обоих элементарных возбуждений совпадали.
Фононные энергии лежат ниже 0,1 эВ, поэтому однофононное поглощение имеет
место в инфракрасной ^области. Далее, из законов сохранения следует, что
могут возникать только оптические фононы. Скорость света в 103-105 .раз
больше скорости распространения акустических волн в твердом теле. Поэтому
не существует акустических фононов с той же энергией и волновым числом,
что и у фотонов.
Рассмотрим, наряду с законами сохранения, механизмы связи между полем
излучения и колебаниями решетки. Мы найдем неисчезающие матричные
элементы для одноквантовых переходов в дипольном приближении только [для
поперечных оптических фононов. Начнем с классического вывода выражения
для поглощения света посредством возбуждения поперечных оптических
колебаний решетки.
Для этого мы рассмотрим граничный случай длинноволновых оптических
колебаний решетки, исследованных в § 36. Мы рассмотрим решетку с двумя
противоположно заряженными ионами в каждой ячейке Вигнера -Зейтца. Если s
= s+-s_ -относительное отклонение, то e*s, где е* - эффективный заряд
ионов,- зависящий от времени дипольный момент. Уравнения движения для
относительного отклонения s или редуцированного отклонения w = j/ NM/Vgs
даны в (36.5). Мы заменили в первом уравнении (36.5) коэффициенты bik и
дополнили его членом затухания; тогда
w+yw + ($w = <>>t Y(77Л)
304
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
[ГЛ. IX
Поляризация Р связана с редуцированным отклонением и напряженностью
электрического поля вторым уравнением (36.5):
р==(0* VEj^rw+i;(e~-l)E- <77-2)
Далее, поляризация и электрическое поле связаны друг с другом
соотношением
ъЕ=Е + АпР. (77.3)
Если мы зададим временную зависимость векторов w, Е и Р в виде ехр ( +
г<в/), то из (77.1) -(77.3) следует для диэлектрической проницаемости
е = еоо + (е0- О ""2 . . (77.4)
СО г- СО2- iy(l)
или, после разделения на вещественную и мнимую части,
*! = ". + (е0 - в J 2 , (77.5)
(со*- C0"j y со = (в0 - 0, 2 XI 2 2 ¦ (77.6)
(,(В^- (й )
Оба последних уравнения непосредственно дают дисперсию и поглощение, а
используя (66.11), можно определить коэффициент отражения (рис. 89).
При отсутствии затухания между co = cof и
со = <вг наблюдается полное отражение, а чуть выше, при час-
тоте сог, отражение равно нулю. Затухание сглаживает этот идеальный
спектр отражения.
Мы видим, что однсфононное поглощение можно рассматривать как
классическое взаимодействие электромагнитной волны с затухающими
"дисперсионными осцилляторами" частоты <вг. В качестве примера на рис. 90
показан коэффициент отражения GaAs. Так как спектр полностью определяется
величинами е0, ею, (Dt и у, то они могут быть определены подгонкой
кривой. Соотношение Лиддена - Закса - Теллера (36.13) дает тогда и В
качестве макроскопических величин мы ввели параметры е0 и е^. При этом
такие присущие модели величины, как эффективный заряд ионов и их
поляризуемость, в явном виде не фигурируют. Эффективный заряд ионов е*
часто определяют выражением
P = ~e*s. (77.7)
Это определение не однозначно. При поперечных колебаниях Е - 0, и тогда
из (36.5) получим
- . N L / (80-воо) VgM
75
Рис. 89. Наверху-вещественная и мнимая части комплексной диэлектрической
проницаемости по уравнениям (77.5) и (77.6) для е0= 15, етс=12, у/щ =
0,05. Внизу - коэффициент отражения для Y/cOf = 0,004 (кривая Л; 0,02
(кри-вая2), 0,05 (кривая 3). (По Гэсу [ПО].)
Рис. 90. Коэффициент отражения для GaAs и две теоретические кривые
отражения 1 и 2, полученные подгонкой параметров е0, етс, и у. (По
Эренрайху (Phys. Rev. 120, 1951, I960).)
306
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
ГЛ. IX
Квадратная скобка здесь определяется как эффективный заряд ионов ев
(индекс В - по Борну). Если, исходя из продольных колебаний, связать
посредством (36.9) Е с s и положить Р =
- ~Е/4я, то из (77.7) следует введенный Калленом эффективный заряд
ионов е*с = еУг^.
Далее, согласно Сцигети, вводит вместо е*в эффективный заряд е§, полагая
в (77.8) равным нулю не поле Е, а эффективное поле Ееа при поперечных
колебаниях (см. (36.1)): е*5 = Ъев/ (гт-{-2).
Квантовомеханическую формулировку однофононного поглощения наметим только
вкратце. Классическое выражение для энергии взаимодействия равно
отрицательному произведению вектора поляризации и электрического поля: U
= - Р Е. Вектор поляризации мы связывали с эффективным зарядом и
отклонением ионов решетки.
В общем случае имеем
J_V / " 1 V
* & ~ . ..
а пд
У 2vT0NVg]Z + ** )е'? /?п-
(77.9)
Здесь -эффективный заряд а-го иона. Электрическое поле задано посредством
плоской волны exp(ix-r) с поперечной поляризацией ек (параллельной
поляризационному вектору ТО-фонона). Оператор Гамильтона фотон-фононного
взаимодействия будет тогда пропорционален
Н' = - Р-Е'
Е • еА + ач) ¦*" л
