Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений Максвелла. Подставляя сюда (73.2), получим для изотропной среды
Е=к2Е-х(х-Е). (73.4)
Сравнивая обе части в (73.4), приходим к заключению, что Е
перпендикулярно к и. Так как и = (со/с) (п + г/г), то1)
(п + ik)2 = est + г , (73.5)
что совместно с (66.9) дает
е, = и2 - /г2 est - - I in (cr) = est (1---2^-7) • (73-6)
CO V C00~|-C0z/
e2 = 2nk = ^ Re (a) - est -A- , (73.7)
СО СО "0+С0
где o)" = (4nne2/m*sst)] 12-плазменная частота в среде с диэлектрической
проницаемостью es).
Рассмотрим вначале ех. К члену est здесь добавляется отрицательное
слагаемое, которое пропорционально электронной плотности. est - часть,
связанная с решеткой, т. е. статическая диэлектрическая проницаемость
изолятора. Добавка, связанная со свободными электронами, пренебрежимо
мала, когда концентрация
г) Здесь п-вещественная и /г - мнимая части комплексного показателя
преломления; не путать с концентрацией и волновым числом свободных
электронов. (Прим. ред.)
73] ПОГЛОЩЕНИЕ СВОБОДНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ ЗАРЯДА 289
электронов (со^) мала, электрон-фононное взаимодействие (со0) велико или
частота света (со) велика. Существенной становится добавка от электронной
плазмы, когда со и со^ одного порядка.
Величина 8j определяет отражение. При слабом поглощении (полупроводник)
из (66.11) следует, что коэффициент отражения равен (п-1)2/(п+1)2. Полное
отражение мы имеем в случае п = О (ej = 0 во всех случаях пренебрежения k
по сравнению с и); отражение отсутствует при п - 1 (et = 1).
Уравнение (73.6) показывает, что эти случаи для со0 = О (это как раз
условие 6 = 0) возникают тогда, когда со = со^ или со = (est/(est+ 1))1/2
со^.
При больших значениях est, как, например, у полупроводников, значения
коэффициента отражения R = 1 и ^ = 0 могут быть расположены очень близко
(край плазменного отражения, см. рис.
86).
Мнимая часть диэлектрической проницаемости е2 определяет поглощение
электронного газа. Она, очевидно, пропорциональнакакконцентрации
электронов, так и элек-трон-фононному взаимодействию со0. В спектре
поглощения интересна область, где со велико по сравнению с со0.
Тогда е2~со-3. Зависимость коэффициента поглощения к = 2со6/с от частоты
определяется тем, будет ли со^>со^ или
Переходя к высоким частотам, таким, что со больше тр, получим 6~ со-3 и,
следовательно, К ~ со-2 ~ Я2. Мы получаем квадратичное возрастание
поглощения с длиной волны света. Это показано опять для германия на рис.
81. Для длин волн, больших края поглощения, К пропорционален №, причем
абсолютная величина К с уменьшением удельного сопротивления (возрастанием
электронной концентрации) увеличивается.
10 О. Маделунг
Рис. 81. Коэффициент поглощения в электронном германии для области волн
выше края поглощения. С ростом длины волны поглощение вначале быстро
падает, когда энергии фотона становится недостаточно, чтобы поднять
электрон из валентной зоны в зону проводимости. Из-за поглощения
свободными электронами в зоне проводимости коэффициент поглощения растет
примерно квадратично с длиной волны. Абсолютное значение К
пропорционально концентрации электронов, т. е. обратно пропорциональ-во
сопротивлению р. (По Фэну и Беккеру (Proc. of the International
Conference of Semicond., Reading, 1951).)
290
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
[ГЛ. IX
Все это -результаты простейшего приближения. Отклонения, связанные с
затуханием со0, учетом зависимости времени релаксации от энергии,
зависимостью от энергии или анизотропией эффективной массы и т. п., могут
привести к более сложному виду спектра поглощения.
§ 74. Поглощение и отражение в магнитном поле
В § 8 мы рассмотрели изменение спектра энергии, а следовательно, и
плотности состояний свободных электронов в магнитном поле. Мы используем
эти результаты для выяснения влияния магнитного поля на межзонные
переходы.
При этом мы ограничимся приближением уравнения (68.21), т. е. пренебрежем
в межзонных матричных элементах их зависимостью от k.
В случае дополнительного магнитного поля оператор возмущения Н' в (68.5)
имеет вид
я'=ж'4-(р+т-4-4 (741)
где Акаг - векторный потенциал внешнего магнитного поля. Это выражение
следует из (68.4), если наряду с (е/с) А рассматривать (е/с) Аяат, т. е.
добавить к оператору импульса р член (е/с) (А + Лмаг).
Для определения матричных элементов необходимо использовать блоховские
функции для электронов в магнитном поле. Для свободных электронов, как
следует из (8.10), волновая функция равна
Fvk,kt (лО = (^Л)"1/2ег(^+М) <Pv (*-*")¦ (74.2)
При этом мы добавили нормировочную константу; <pv(*) - осцил-ляторные
волновые функции уравнения (8.11), соответствующие собственным значениям
Ev выражения (8.12).
Можно показать, что для прямых переходов при k = 0 искомая блоховская
функция равна F, умноженному на ип (0, г). Мы не будем доказывать это
весьма правдоподобное предположение.
Вместо матричных элементов (68.10) для прямых переходов, появляются
интегралы
(tin'FV'kyk'l Н | unFvkykz^. (74.3)
В волновых функциях F - медленно меняющийся, а в и быстро меняющийся
