Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
сопровождались образованием электронно-дырочной пары. При этом мы
предполагали, что между электроном и дыркой отсутствует какое-либо
взаимодействие. Это оправдано, когда передаваемая энергия существенно
больше пороговой энергии Е0, так как в этом случае электрон и дырка
обладают большой кинетической энергией. В то же время вблизи края
поглощения Еа взаимодействие электрона и дырки может играть существенную
роль.
К этому следует добавить, что мы не учитывали, что как при прямых, так и
непрямых переходах электрон и дырка в момент их образования находятся в
одной точке пространства.
Взаимодействие и пространственная корреляция в электроннодырочной паре
ведут к образованию экситона (гл. VII). Таким образом, в этом параграфе
мы будем рассматривать экситонные эффекты в спектре поглощения твердого
тела. При этом мы не будем учитывать возможность'Ъбразования поляритонов,
рассмотренных в § 65. Другими словами, мы будем считать, что экситоны из-
за своей связи с колебаниями решетки или примесями распадаются так
быстро, что именно образование эксйтонов связано с истинным механизмом
поглощения.
§71] ЭКСИТОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ 277
Будем исходить из формализма гл. VII. Там мы использовали определитель
Слэтера ФCke,vkh, который описывает дырку | vkhy в обычно заполненной
валентной зоне (v) и электрон |cke> в обычно пустой зоне проводимости
(с). Волновую функцию экситона 4V мы образовывали суперпозицией таких
определителей с фиксированным значением K=ke~kh:
y?K='%iAi>e,t!e-K(r)ke,tie-K- (71-1)
be
Фурье-преобразование величин А
(71.2)
" ke
приводит к волновой функции экситона (44.5) и (44.3):
К) (71.3)
' yV ke Р
или, наконец, с Ф (/f, Р) = (l/jAv) ^ е-^Рф (ke - К, ke)
Ье
^аг=2^(Р)Ф(^, Р). (71.4)
Р
Для экситонов Ванье требовались дальнейшие преобразования, которые
приводили к уравнению Шредингера (45.8) для относительного движения
электрона и дырки.
Для прямых переходов волновые векторы электрона и дырки равны, поэтому
К=0. Дальнейшие преобразования в § 45, которые вели от U через F к
функции F', излишни, так как все три функции теперь одинаковы. Волновая
функция (71.4) и уравнение Шредингера (45.8) приобретают вид
Т0=Х^0(Р)Ф(0, Р), (-^Ь-^и0 = (Е-Ео)и0. (71.5)
Отличие по сравнению с теорией процессов поглощения без учета электронно-
дырочного взаимодействия заключается только в том, что вместо матричных
элементов <ck \ e-p\vk> для прямого перехода необходимо теперь
рассмотреть матричные элементы
S 40e-pp0dT1 ... dxN. (71.6)
Здесь Ч*, -волновая функция экситона с ДГ=0'(71.5) и Ф0 - волновая
функция основного состояния (заполненная валентная зона и пустая зона
проводимости). В результате получим
278
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
LT Л. IX
выражение
^ Ч0е-рФй(1х1 ... dxN = ^ Ак, k<ck\e-p\ уй> =
J k
= 24ь*(Л*вР + 1в-ЛЛи. (71.7) k
в котором из-за нормировки собственных функций от многократного интеграла
останется только интеграл по координатам одного электрона. Последнее
преобразование в (71.7) следует из уравнения (68.24). Ограничимся
рассмотрением переходов из области вблизи максимума изотропной
параболической валентной зоны в соответствующую зону проводимости. Будем
считать, что в сумме
(71.7) существенны только k вблизи точки Лг = 0; тогда можно вынести
матричные элементы из-под знака суммы (это можно, конечно, сделать и без
специальных оговорок, если доказать в общем случае, что матричные
элементы не зависят от k). Мы получим тогда
^ W^-рФ^ ... dxN = Mcv'3ii1Ak,b + iMcvJjAk,be-k, (71.8) J k k
или, используя (71,2),
-±= С W0e •рФ0 dx,... dxN= MCVU0 (P) + Mcve • gradp U0 (p)
V N ] p=0
(71.9)
Это выражение отличается от (68.24) только множителями при матричных
элементах. Из (68.24) следовало, что первый член описывает разрешенные, а
второй член - запрещенные переходы. Так как в конечных формулах стоит
квадрат модуля матричного элемента, то мы сразу можем написать для мнимой
части диэлектрической проницаемости
е2 = е(r) | U0 (0) |2 для разрешенных переходов,
= el| e-Vpt/o (Р) |э=о |2 для запрещенных переходов. ' '
Для обоих поправочных множителей мы использовали функцию tfo(P) и ее
производную при р = 0. t/ -решение уравнения Шредингера (71.6), которое
нам известно из рассмотрения атома водорода. Используя его, получим для
дискретного спектра экситона*)
I |2 = ' I е • V(Р) 1р=012 = , (71.11)
а0п^я аоп9п
где а0 - радиус Бора (в среде с диэлектрической проницаемостью е). При
этом поправочный множитель отличен от нуля для раз-
1) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.- М.: Наука, 1974, § 36.
(Прим. ред.)
ЭКСИТОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
279
решенных переходов только для s-экситонов, а для запрещенных переходов -
только для р-экситонов.
Таким образом, краю поглощения предшествует линейчатый спектр, который в
одном случае дает все s-переходы, в другом - р-переходы (начиная с п =
2).
Поправочные множители меняют также спектр поглощения и выше края
поглощения. Здесь следует для U0 использовать волновые функции
