Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать в качестве промежуточного состояния только наиболее
глубокую зону проводимости с заданным ka.
l) а-Ausgangszustand (нем.)-начальное состояние, е - Endzustand (нем.) -
конечное состояние,
Z - Zwischenzustand (нем.) - промежуточное состояние.
(Прим. ред.)
272
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
1.Г JJ. 1-V
б) Поглощение фотона происходит при нечного состояния электрона k'e
Рис. 73. Непрямые переходы в зонной структуре кремния (см. рис. 37). /:
переход электрона, связанный с поглощением фотона, из валентной зоны в
зону проводимости и следующий за ним переход внутри зоны проводимости при
поглощении или испускании фонона. //: переход дырки, связанный с
поглощением фогона, из зоны проводимости в валентную зону и следующий за
ним переход дырки внутри валентной зоны при поглощении или испускании
фонона. Переходы при участии более высоких зон (III) возможны, но
привносят мало в поглощение.
волновом векторе ко-Начальное и виртуальное конечное состояния связаны
поглощением или испусканием фонона. Наибольшая вероятность перехода
связана с процессом, при котором виртуальное и начальное состояния
расположены в верхней валентной зоне.
Это рассмотрение сводит число процессов, которые должны учитываться в
(69.8), к немногим. Сравним вначале оба члена в скобке справа.
Знаменатель первого члена, при выполнении закона сохранения энергии,
р^веи нулю. Квадрат модуля этого члена, как и в
(68.15), дает 6-функцию. Из-за резонансного знаменателя этот" член всегда
много больше второго, который может быть опущен. Квадрат модуля правой
части (69.8) и дает как раз вероятность перехода. При возведении в
квадрат правой части
(69.8) надо брать квадраты отдельных слагаемых, относящихся к
различным процессам, так как последние независимы. Это следует из того,
что смешанные члены не дают в вероятности перехода слагаемые,
пропорциональные времени t. Таким образом, мы получим
K'(*e. 01а =
= V 1<е1яИг>121 <гК-1п>1
(Ег Еа ¦?/)"
¦2якЬ(Ее-Еа - Е1 - Е{'). (69.9)
zii'
Полное число переходов, так же как в (68.18), получим делением на / и
суммированием по всем начальным и конечным состояниям. При этом надо
иметь в виду, что теперь ke=^=ka, поэтому надо интегрировать и по ke, и
по ka. Тогда для мнимой части ком-
§69]
НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
273
плексиой диэлектрической проницаемости получим е2 = ? j г {ка) dxka j г
(Ay dxbe {^ б (Ее (к.) - Еа (ка) -
1 L /-'<ИСП)
-/ш -kwq) + s (Ее (ке) - ? а (ка) - Ксо + ?со9)}. (69.10)
Суммирование проводится в соответствии с двумя указанными возможностями
(прямой переход при ke или при ка). Множители Сае содержат:
а) Квадрат матричного элемента для фопонного перехода. Согласно
(49.12) и (49.13) он пропорционален [I - tiii+q) ritjiq для поглощения
фонона и (1 --п/,+(.) пк (п9 -j- 1) для испускания фонона. Если переход
осуществляется из заполненной валентной зоны в пустую зону проводимости,
то множители \\--nh+q)rik разрешают только два перехода. При одном
электрон в ка переходит из валентной зоны в зону проводимости, а затем,
поглощая или испуская фонон, переходит в зоне проводимости в точку ke. В
другом случае электрон в ке переходит из валентной зоны в зону
проводимости; после этого другой электрон в валентной зоне рассеивается
из ка в ке. Этот последний процесс можно также трактовать как переход
дырки из ke в зоне проводимости в точку ka валентной зоны. Тогда это в
точности обратный процесс первой из рассмотренных возможностей (рис. 73).
б) Энергетический знаменатель (Ег - Еа - Йсо,). В соответствии со
сказанным выше переход а-^-г - всегда прямой переход; следовательно, (Ег
- Еа)~ энергия "края поглощения для прямого перехода" в точке ka, а Йсо,-
- энергия фотонов Асо. Непрямые переходы из-за своей относительно малой
интенсивности существенны только в той области, где невозможны прямые
переходы, т. е. ниже их края поглощения. Там, однако, Тт еще мало по
сравнению с Ег - Еа, поэтому энергетический знаменатель не существен.
Остается рассмотреть множители nq и п9+1 в C<(tm)r> и С(?сп\ которые
существенны при низких температурах, когда tiq->- 0 и, следовательно,
С^ог> тоже стремится к пулю. При этом остаются возможными лишь процессы
испускания.
Интегрирования в (69.10) могут быть выполнены, если^мы, как и в (68.23),
предположим, что энергетические поверхности; вблизи экстремумов в
валентной зоне и зоне проводимости имеют параболический вид со скалярными
эффективными массами. Если, далее, прямые переходы разрешены, то
матричные элементы можно считать не зависящими от к и их можно вынести
из-под знака интеграла. Если переходы запрещены, то, согласно (68.24),
под интегралом появляется дополнительный множитель №.
274 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА 1ГЛ. IX
Объединяя все постоянные множители в Сае, для разрешенных переходов
получаем
J dEa jdEe V(Ev - Ea) (Ee - El) x
X 6 (Ee - Ea - ft(r) + %wq) -
c Ev+ka±huq e"_________________________
= 2^ J dEey (Ee-EL)(Ev-\tm±tmq~Ee)^ el
= E%(^±^.-?o)2- (69.11)
