Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
72.
. й Многочисленные критические точки, более существенно влияющие на
спектр, чем другие зависимости от энергии, дают основание для сложной
структуры спектра поглощения. Примеры этого мы рассмотрим в § 72. "
§ 69. Непрямые переходы
Прямыми переходами определяется край поглощения в изоляторах или
полупроводниках только в том случае, когда максимум в валентной зоне и
минимум в зоне проводимости расположены в одной &-точке. Во многих
твердых телах это, однако, не имеет места. Примером этого является зонная
структура кремния, изображенная на рис. 37. Из него видно, что максимумы
валентной зоны лежат в точках Г, а минимумы зоны проводимости -на осях А.
Между этими экстремумами также возможны переходы, так что в спектре
поглощения до "прямого края поглощения" имеет место другой тип
поглощения. Согласно результатам предыдущего параграфа, ответственным за
это не может быть одноступенчатый процесс поглощения фотона, так как при
этом не может' выполняться закон сохранения импульса. Изменение импульса
электрона будет связано с дополнительным поглощением или испусканием
фонона. Если q-волновой вектор, a haq-энергия фонона, то закон сохранения
импульса и энергии имеет вид
?' = ?4-к + q, E(k') = E (k) + 'hoi±fi()iq. (69.1)
Знак плюс соответствует поглощению, минус-испусканию фонона.
Используем формализм предыдущего параграфа. Оператор энергии возмущения
содержит теперь два члена:
я' = я;+я;.
(69.2)
270
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
[ГЛ. IX
Здесь первое слагаемое есть (68.5). Для второго слагаемого используем
(49.9), т. е. ограничимся 1Л-фононами. Основной вклад в энергию перехода
поставляет фотон, а в изменение импульса электрона-фонон.
В дальнейшем нас будут интересовать двухступенчатые процессы. На одной
ступени электрон меняет свое состояние в результате поглощения фотона, на
другой - в результате поглощения или испускания фонона. Промежуточное
состояние-виртуальное. Оно протекает в столь короткий промежуток времени,
что для него не должен выполняться закон сохранения энергии. Только для
полного процесса энергия сохраняется. В противоположность этому, закон
сохранения импульса должен выполняться для каждой ступени в отдельности.
Мы начнем с общего формализма: Н* имеет вид
Н* = Шс ^"'"'e-grad. (69.3)
Это следует %з (68.5), если мы сделаем предположение, что фотоны только
поглощаются, и положим к равным нулю.
Из (49.9) следует, что
Нч = Мн (а^е'?"Чв,.е''""')с*+^*, (69.4)
при этом мы выразили в явном виде зависимость а+ и а от времени. Это
необходимо было сделать, так как Нч используется во временном уравнении
Шредингера. Оставшиеся не зависящие от времени операторы at и а0
действуют на вектор состояния
фононов так же, как а+ и а, поэтому они приводят к тем же
матричным элементам (49.12) и (49.13). w ••••'"*
Для описания двухступенчатых процессов необходимо теорию возмущений
использовать во втором приближении. Для этого воспользуемся (68.7). Пусть
опять в момент времени ^ = 0 ау-= 1, а все остальные ап = 0. Положим в
момент времени t
а, (k, 0 = 1+ а)1* + "/2) + ¦ • •. a"{k,t) = + а(r) + .. . (п Ф /).
(69.5)
При этом каждый член суммы по порядку величины в Н' раз меньше
предшествующего. Согласно (69.3), (69.4) мы можем Н'
в (69.2) записать в виде Подставляя (69.5)
i
в (68.7) и сравнивая в левой и правой частях члены одинакового
§ 69J НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ 271
порядка, получим
• , 1т-, "Г (Еп <*")-?/ (k)-ha.) t
a"'(k'\ 0 = <n, k"\Hi\j, k>, (69.6)
Л(2)
(*', t) =
1 ~ (E s, {k')~ En(k") - ftco/,W , , .
==7lEEa",(A"' '>e* </'• *">•
/' nk"
(69.7)
Интегрируя (69.6), определим an). Подставляя результат в (69.7), получим
двухчленное выражение, в котором каждый член зависит от времени
экспоненциально: exp (i/fi) АЕ t. Интегрирование по времени опять-таки
просто, и в результате мы в сокращенной записи получим
^е I Ну 12^ ^2 № 'с I а ^
в-е'Фе, 0 = ^ Е2 - Еа~ЕС Х
z, i, V
{ Т (Ее ~Ea~Ei ~Е1') ( "Г (Ee-Ez-Et,) t )
] е - 1 е - If- /гг. 0.
Х( Ее - Еа-Ei-Ео Ee-Ez-Ei. )• (69'8)
Здесь Еа и ]а> - энергия и волновая функция начального состояния
электрона, Ее и | е>-соответствующие величины конечного состояния, Ez и |
z>-промежуточного, виртуального, состояния1), Е{ и Еу-энергии fkow},
соответствующие частотам <",-<').
Суммирование в (69.8) надо производить по всем возможным процессам одного
промежуточного состояния и по всем возможным промежуточным состояниям.
Для этого рассмотрим следующие возможности (рис. 73).
а) Электрон переходит из начального состояния в валентной зоне в
промежуточное состояние с тем же ka, в наиболее глубокую или
расположенную выше зону проводимости (прямой переход, связанный с
поглощением фотона). Отсюда электрон, поглощая или испуская фонон с
волновым вектором q = ±(ke - ka), совершает второй переход в конечное
состояние. Наиболее вероятным из этих возможных процессов будет тот, для
которого энергия виртуального, промежуточного состояния расположена ближе
всего к энергии конечного состояния. Мы будем поэтому в дальнейшем
