Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
ч." г. ,'-2
е,
§ 68] ПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ 267
Часто используется приближение, исходящее из предположения, что матричный
элемент мало зависит от к. Тогда его можно вынести за знак интеграла.
Остается интеграл, который отличается от плотности состояний (22.4)
только тем, что вместо функции зонной структуры Ej (k) стоит разность
двух таких функций. Этот интеграл обозначают как комбинированную
плотность состояний Zjj' (со). Она дает число пар состояний в зонах / и
/', которые отличаются друг от друга на заданную энергию ^со. В этом
приближении мы получаем
|</'> *1 e-grad |/, ky |2 Zjj' (со). (68.21)
//'
Обсуждая вопрос о пределах применимости уравнения (68.21), надо еще
отметить, что мы предположили, что все состояния в зоне / заняты и все
состояния в зоне /' свободны. Если это не имеет места, то надо в
соответствующей форме ввести вероятности заполнения состояний в обеих
зонах.
Особенно важны переходы между максимумом валентной зоны полупроводника и
минимумом его зоны проводимости. Это - переходы с наинизшей энергией в
спектре поглощения, и если не имеют места непрямые переходы (§ 69), то
они определяют форму края поглощения.
Предположим, что мы можем описать экстремумы с помощью эффективной массы:
=Е>¦ <*>-"; W ¦ (68-22>
Тогда согласно (22.4) и (6.12) находим для комбинированной плотности
состояний
2//'Н = |^(2ткомб)з/2 фм-ЕаУИ. (68.23)
Для того чтобы найти зависимость матричного элемента в (68.21) от
энергии, подставим блоховские функции:
</', k | е -grad | /, ky=\ и*-, (k, r)e~ik'r e-grad (Uj (k, r)elk'r)dx =
= ^ Uj,e- grad Uj dx + ie-k^ u*,uf dx = M/-/ + i e ¦ k МГ/. (68.24)
Вторым слагаемым по сравнению с первым, как правило, можно пренебречь.
Оно было бы нулем, если бы при переходе й-вектор точно сохранялся
(ортогональность функций Блоха при одинаковом k и различных /).
При этом мы, однако, не исследовали, будут ли, по соображениям симметрии
начальных и конечных состояний, переходы, обусловленные матричным
элементом Mj'j, вообще разрешенными
268
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
[ГЛ. IX
илр, из соображений симметрии, окажется, что Му, должен исчезнуть. В
последнем случае (запрещенные переходы) как раз матричный элемент Му, в
(68.24) будет играть роль.
Легко можно получить зависимость е2 от энергии для разрешенных и
запрещенных переходов. Для запрещенных переходов заменим величину к по
(68.22) на ((2ткомб/&2) (Асо-?0))1/2. Тогда для разрешенных переходов
е2 - (/га)-21 Щч |2 (А<в-^о)1/а - (68.25)
а для запрещенных переходов
е2 ~ (&со)-21МП |2 (1ш-Еоу1К (68.26)
Наряду с существованием края поглощения, т. е. пороговой энергии
поглощения при прямых переходах, спектры поглощения полупроводников и
изоляторов отличаются отчетливой структурой. На рис. 70 приведен такой
пример. Эту структуру, конечно, нельзя объяснить сильной зависимостью
матричного элемента от энергии (хотя этот множитель и может иметь
отчетливую зависимость от энергии). Всегда, если начальное или конечное
состояние перехода лежит в области энергий, где перекрываются частично
валентная зона и зона проводимости, комбинированная плотность состояний
сильно зависит от энергии перехода.
Из уравнения (68.20) видно, что подынтегральная функция комбинированной
плотности состояний имеет сингулярные точки всегда, когда grad* (Еу (k) -
Ef(k)) = 0. Это, во всяком случае, имеет место при переходах между
экстремумами в зонах, когда равны нулю градиенты обеих энергий. Условие,
конечно, тоже выполнено, если градиенты обоих термов, разделенных
величиной энергии поглощения, равны: grad* Е/> (к) = grad* Е, (к). Эти
условия, однако, не означают, что в критических точках становится
бесконечно большой комбинированная плотность состояний. Можно показать,
что в каждой критической точке возникают изломы спектра, т. е. скачки
первой производной от гц'((л)г).
Разложим Ej'(k) - Ej (k) вблизи критической точки в ряд Тейлора и
ограничимся первыми двумя неисчезающими членами разложения; тогда
Ег {k)-Ej (k) = ?" + Я (k,. -kol)\ (68.27)
Здесь ait вообще говоря, не определены по величине и знаку. Если все а,
положительны и одинаковы, то (68.27) имеет вид (68.22). Край поглощения,
соответствующий такой критической
г) См. более подробное изложение в книге: Бонч-Бруевич В. Л., Калашников
С. Г. Физика полупроводников.-М.: Наука, 1977, с. 604. (Прим. ред.)
§69]
НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
269
точке, имеет комбинированную плотность состояний z = 0 ниже Е0 и z ~ {Е-
Е0)1!г выше Е0. Такая же зависимость от энергии имеет место для
положительных не равных а,-.
Другие критические точки возникают, когда все а,- отрицательны (z~(?0-
Е)1/2 ниже и z = 0 выше Е0), когда два а,- отрицательны и одно
положительно z(E)k (z~ const - (Е0 - Еу>г ниже и z = 0 выше Е0) и когда
два значения а,- положительны и одно отрица- Е
тельно (z = const ниже и Рис. 72. Ход (комбинированной) плотности z~
const-(Е Е0)1/2 вы- состояний вблизи критических точек.
ше Е0). Эти возможности
вместе с обозначением критических точек (от М0 до М3) изображены на рис.
