Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
На оптические спектры могут влиять внешние параметры. Один из наиболее
выраженных эффектов - изменение электронных переходов из-за изменения
зонной структуры в магнитном поле (§ 8). Мы обсудим эти явления
магнетопоглощения и -отражения в § 74 и магнетооптику свободных носителей
в § 75.
264 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА [ГЛ. IX
§ 68. Прямые переходы
В качестве простейшего процесса взаимодействия рассмотрим в настоящем
параграфе поглощение фотона электроном. Электроны при этом изменяют свою
энергию и свой импульс на энергию и импульс фотона. Целью параграфа
является определение коэффициента поглощения, в частности мнимой части
комплексной диэлектрической проницаемости, в результате таких
элементарных процессов.
Коэффициент поглощения определяется как частное от деления энергии,
поглощенной единицей объема в единицу времени, на падающую энергию. Пусть
W (со) - число фотонов, поглощенных единицей объема в единицу времени,
тогда Йсо W (со) есть поглощенная энергия.
Падающую световую волну выразим через ее вектор-потенциал:
А [г, t) = Л"ее'^+ комп. сопр. (68.1)
Падающая на единицу поверхности в единицу времени энергия получается как
произведение плотности энергии и = (еЕ2 Н*)18я на скорость света в среде
v - c/n. Тогда
К = Щ.ф(а), (68.2)
/2(0 Aq
или для мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости с учетом
(66.9) и (66.12)
-г^И- (68-3)
со VI о
Для вычисления функции W (со) будем исходить из уравнения Шредингера
[ш (^'*"7 А)' f^(r)| (68.4)
здесь р- оператор импульса - ih grad. Оператор Гамильтона представляется
как сумма невозмущениой части //" и некоторого возмущения Н
Н = На + Н', Н' = ^ср-А\ (68.5)
при этом мы член (е2/2тс2) А2 опустили, как малый по сравне-
нию с Н'.
Разложим теперь я]) по решениям невозмущенной задачи
Н0% = i%%:
^=5a"(ft, t)e-lfhEn(f"f\n, к>. (68.6)
При этом |п, k~> означает функцию Блоха tyn{k, г).
§ 68j ПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ 265
Подстановка (68.6) и (68.4) и умножение на exp ((i/'k) Ет х X (к') t)
<mk' | дает
1 " "Г (Em(k')-En (k))t
ат (к , 0 = <m- k'\H'\n, к>. (68.7)
nk
Пусть теперь a;(k, 0) = ], а все другие an(k, 0) = 0. То есть в момент
времени ^ = 0 электрон, описываемый уравнением (68.4), находится в
состоянии k в /-й зоне. Тогда вероятность W (/, k, j', k', со, /)
встретить его в момент времени t в состоянии | /', k'~> будет равна | ar
(k', t) |2. В первом приближении
• т 1 -f (?/, (*')-?; (*)) *
41)(й', 0 = те <' • *>. (68.8)
f/fr
И? (/, k, }', ft', со, 0 =
. (ft'J-ZT -W) V
еА <j',k'\H'\j,k>dt'
о
(68.9)
Прежде всего рассмотрим подробнее матричный элемент, входящий в (68.9):
</', k' | Н' |/, к> = ~ уЛ0{е-'"* </', | eI>c r в - grad
| /, ?> +
+ e'ft><</', k' |e-'*-r e-grad | /, ft>}. (68.10)
Далее мы увидим, что только первый член вносит вклад в поглощение.
Поэтому мы пока не будем рассматривать второй член. В первом члене
разобьем интегрирование на интегралы по отдельным ячейкам Вигнера -
Зейтца. Так как значения блоховской функции в эквивалентных точках двух
ячеек Вигнера - Зейтца отличаются только множителем exp (ik Rt), то
выражение
= (68.11)
i
Последняя сумма только тогда отлична от нуля, когда вектор Аг + и-k'
равен вектору обратной решетки. Так как k и k' лежат в зоне Бриллюэна, а
вектор фотона к очень мал по сравнению с каждым вектором Kj, то
k' = k + K (68.12)
является выражением сохранения волнового вектора или импульса при
переходе.
Изменение импульса электрона от k до k' мало. Как мы уже ранее отмечали,
к-вектор света меньше в 10-3 обратного вектора решетки. Поэтому с хорошим
приближением мы можем считать
тл - О, k = k'. (68.13)
266
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
[ГЛ. IX
То есть переход происходит при сохранении ft-вектора электрона (прямой
переход).
Тогда (68.9) будет
t I
р*А1
со, =
Mrr
ii' (*)f
--IE; (k)-E, (ft)-ftm) f
' y ' df
,(68.14)
где Мц' (k) есть матричный элемент (68.11). Для интеграла в (68.14)
находим
.. .dt'
sin2 xt
яt 6 (jc) = 2nhtb (2fix),
Ej - Ej, - jio ' 21
(68.15)
Последнее преобразование (введение 8-функции) имеет смысл только при
больших t. Тогда получим
W(j, j',k, to, t)=e~ \ Mn'(k) |2 2пЫ(Ег(к)-Еу(к)-йа>).(Ъ8.Щ
8-функция в (68.16) означает, что при переходе наряду с импульсом
сохраняется и энергия:
Er(k) = Ef(k) + h to. (68.17)
Если бы мы рассмотрели в (68.10) второй член, то в
(68.17)
стояло бы -1т вместо Этот член, следовательно, описы-
вает индуцированное испускание фотона при переходе.
Общее число переходов в единицу времени на единицу объема может быть
получено из (68.16). Для этого (68.16) надо разделить на t,
просуммировать по всем j (заполненные зоны) и /' (свободные зоны) и
проинтегрировать по зоне Бриллюэна:
= (68.18)
//'
Тогда окончательно получим 8л2е2%'2
е2 =
т.¦'а*
¦X
X
Е w JI </'' * I е • §rad I /> k> I2 6 (ЕГ W-Ej (*)-&") dxk. (68.19)
Это выражение мы еще преобразуем, использовав (22.4):
8л2е2%2 2 Г* \ ,-г
e" = 1vEw J |<у , k\e-grad\j, кУх
if Ef.-E - ha
Х | grad* (Ej,(k)-Ej(k))\ ¦ (68'2°)
