Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
?,•* другим способом. Для этого возвратимся к классическому рассмотрению
задачи. Электромагнитное поле опишем уравнениями Максвелла,
поляризационное поле- уравнением движения, в котором свободные
осцилляторы с собственной частотой (о0 связаны с электрическим полем
восприимчивостью %:
rot Н = ±(Е+4лР), rot? = -4//, (65>4)
Р+<*оР = %Е.
Эти три уравнения определяют поля Е, Н и Р1).
Автор пытается посредством третьего уравнения в (65.4) схематически
описать элементарное экситонное возбуждение ионного кристалла; при этом
254 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА [ГЛ. IX
Предположим для этих полей поперечные плоские волны, распространяющиеся в
направлении г
Ех = Ех0е'^-">'\ Я" = Яу0е'"*"-(r)о, рх = рхаецкг~ш)ш (65.5) Тогда получим
2-е, + ^ Px-kHy = 0, f Ну = 0, xEx+(u2-w2) Рх=0.
(65.6)
Эта система уравнений имеет решения, только если исчезает детерминант
СО 4 яш ь
с с к
k 0 (65.7)
в
% (О2-Шо 0
Это приводит к уравнению
(c)4 - ю2 (ю§ + 4jt% -f c2k2) -f сo%c2k2 = 0, (65.8)
из которого можно вычислить дисперсионные соотношения ю(&) для
поляритонов. Эти соотношения, изображенные на рис. 68, мы обсудим ниже.
Сначала попробуем получить эти соотношения из оператора Гамильтона
(65.3), который содержит операторы уничтожения и рождения фотонов и
квантов поляризации. С помощью линейных комбинаций введем операторы
рождения и уничтожения для поляритонов:
ak = wck-\-xbk+yc+_k + zb+_k. (65.9)
Соответственно определим а+. Коэффициенты получим аналогично тому, как
мы их получали в § 39 для антиферромагнитных маг-
нонов (см. (39.4)), потребовав, чтобы оператор Гамильтона, выра-
женный через ос*, имел вид
н=2 {?ix) +i)+Ei2) (a2*a>*+т)} • (65Л0)
При этом надо проследить, чтобы для заданного k у каждой из двух ветвей
поляритонов (рис. 68) существовал оператор рождения и уничтожения.
он для поляритонов получает дисперсионное уравнение (65.8). Для
оптических фононов последовательно используются уравнения движения
(36.5), которые, как показано в Дополнении X, приводят к дисперсионному
уравнению (65.16). (Прим. ред.)
§65]
ПОЛЯРИТОНЫ
255
Из (65.9) и (65.10) для перестановочного соотношения одного из вновь
введенных операторов с оператором Н вытекает
[a*, H] = Ekak, (65.11)
где мы опустили индексы 1 и соответственно 2. Тогда это соотношение
должно быть справедливо и для оператора, определенного в (65.9), с
оператором Гамильтона (65.3). Записав его в явном виде, получим
операторное уравнение
A\ck + Лф/i + Азс-ь Ч- AfPtъ - 0>
(65.12)
которое при образовании соответствующих матричных элементов распадается
на уравнения Л; = 0 или aiw-\-blx-\-c;y-\-diz = 0. Эти уравнения для w,
х, у и z решаются только тогда, когда их детерминант обращается в нуль,
т. е.
(65.13)
Это приводит к секулярному уравнению
Ч- Ч + Цк) + ?!*?;* + *Ег*ЕгЛЕ\л = 0. (65 Л 4)
Из сравнения с (65.8) находим для Etk оператора Гамильтона (65.3)
n%ckh%
E\k Ek -E3k О i ~Esk
E3k E%u Ek Etk 0
0 ~Esk E\k E k -E3k
~Esk 0 Esk E%k ~Ek
Elk = hck, Е2ь = 1шй ]/Г1 + 4л^, E3k = i
"о У-
1 + 4я-
1/2
(65.15)
Рассмотрим теперь рис. 68. Для больших k ветви дисперсионного спектра
совпадают с ветвями u> = ck фотонов и 'со = <а0 квантов поляризации. При
малых k, наоборот, на спектре обнаруживаются резкие расхождения. Одна
ветвь, правда, линейно возрастает от нуля. Ее возрастание, однако,
пропорционально не с, a cjV 1 -[- 4л (x/oJq). Вторая ветвь начинается со
значения
(r)i = (r)0V 1 +4я(х/<^).
Рассмотрим теперь оба возможных кванта поляризации, оптические фононы и
экситоны. Уже в § 36 мы нашли, что граничная частота продольных
оптических фононов больше граничной частоты поперечных фононов
(соотношение Лиддена-Закса - Теллера). Это объясняется тем фактом,'"'что
продольные колебания заряженных ионов связаны с появлением внутреннего
макроскопического электрического поля, тогда как поперечные не связаны с
таковым. Аналогично, здесь возрастание граничной частоты
256
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
[ГЛ. IX
верхней ветви поляритонов надо отнести за счет электрического поля света.
Для того чтобы найти дисперсионный спектр фонон-поляри-тонов (в
противоположность экситон-поляритонам), подставим вместо третьего
уравнения (65.4) оба уравнения (36.5). Наряду с
полями Е и Н, следовательно, появляются поля Р и w. Детерминант (65.7)
тогда будет детерминантом (4x4) с секулярным уравнением
(?>*-0)2 ((?>2+^!) +ю?~ = 0. (65.16)
Вытекающий отсюда спектр показан на рис. 69.
Смещение частоты верхней ветви при к = 0 как раз и есть смещение Лид-
дена-'Закса-Теллера. По сравнению с рис. 68 единственным изменением
является возрастание верхней ветви при больших k пропорционально сй/l/e^,
а не просто ck. Нижняя ветвь вначале возрастает пропорционально ckjYе0 и
далее приходит к значению (0f.
Совершенно сходные соотношения мы находим для жситон-поляритонов. Для
этого мы должны учесть ранее не упоминавшийся факт, что существуют
продольные и поперечные экситоны. Следовательно, существуют и экситонные
