Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маделунг О. -> "Теория твердого тела" -> 10

Теория твердого тела - Маделунг О.

Маделунг О. Теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 418 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 160 >> Следующая

перестраиваться при изменении положения ионов. Таким образом, на движение
электронов влияет только мгновенная конфигурация ионов. Тогда в качестве
первого приближения уравнение Шредингера для электронов может быть
§2]
МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ У
21
представлено в виде
(Яе1 + /Уе1.1оп)Ф = ад. (2.9)
в котором координаты ионов считаются постоянными. Волновая функция г)з
зависит только от координат электронов. Координаты ионов входят как
параметры. Решение для всей системы ищется теперь в виде произведения
? = "ф(rt. . .rN\ Rt. . .RN')4>{Ri-¦ -Rn'), (2.10)
где ij)- решения уравнения (2.9), а N и N' - соответственно число
электронов и ионов.
Подставляя (2.10) в уравнение Шредингера с гамильтонианом
(2.1), получим
ff? = (Hel -|- Н\оа + #el-ion ) "фф =
= "Ф (Я1оп + Ее,) ф - X, Sar (фа^ + 2 grad,, ф grad, i|>). (2.11)
Если бы в правой части (2.11) отсутствовал последний член, то (2.10) было
бы приближенным выражением, разделяющим движение электронов и ионов. Для
движения ионов получилось бы равенство в форме
(ЯЬп + ?е1)ф=?ф, (2.12)
где Ее1 зависит еще и от положения ионов, т. е. вносит добавку к
потенциальной энергии ионов за счет электронов. Выражение (2.12) есть
уравнение Шредингера, в которое входят только координаты ионов и которое,
следовательно, описывает движение ионов. Для описания движения электронов
в (2.9) мгновенные положения ионов заменяются их средними значениями, т.
е. Яеноп заменяется
tfeVion.
Последний член в (2.11) связывает электронную систему с ионной. Правда,
можно показать, что это вносит только очень малую добавку к полной
энергии системы в состоянии 4я. Это не означает, однако, что последний
член описывает слабое взаимодействие, которое можно учесть с помощью
теории возмущений.
Обоснование выражения (2.10) также сомнительно. Уравнение Шредингера
(2.9) в качестве решения имеет не одну собственную функцию г|\ а полную
систему собственных функций \J)". Выражение (2.10) надо было бы записать
в виде разложения по этим собственным функциям. Если ограничиться одной
волновой функцией, то теряются все переходы в системе электронов,
вызванные движением ионов, т. е. как раз взаимодействие между обеими
системами. Приведенные замечания лишь показывают, что уже такое первое
приближение ставит вопросы, которые требуют более точ-
22
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
ного анализа. В рамках настоящей вводной главы мы не можем их
рассматривать подробнее. Более подробные обоснования и дискуссию по
вопросу адиабатического приближения можно найти у Хауга [11] и Займана
[20].
§ 3. Приближение Хартри - Фока
Обратимся теперь к движению электронов, описанному в (2.7). Будем
рассматривать электронный газ в поле равномерно распределенного
положительного заряда (континуальная модель), т. е. в поле неподвижных
положительных ионов. Трудность решения этой проблемы заключается во
взаимодействии электронов друг с другом. Если бы не было этого
взаимодействия, то многочастичная задача свелась бы к одночастичным
задачам. Последние описывают невозмущенное движение одного электрона в
поле с заданным потенциалом. Такое одноэлектронное приближение имеет
настолько очевидные преимущества, что встает вопрос, нельзя ли
поставленную проблему свести к одночастичной, учтя хотя бы частично
электрон-электронное взаимодействие. Это и является приближением Хартри -
Фока, к которому мы теперь обратимся.
Мы будем исходить из оператора Гамильтона
н - Sш+Xv (rk)+J Е' t~FTT=X я* + X Hkk'' <ЗЛ>
k k kk' Vk rk'\ k kk'
при этом мы выразили взаимодействие Hl\.\on через X V (rk), где из (2.4)
V(rk) = ^V(rk-m).
В (3.1) оба первых члена являются суммами одночастичных операторов. Если
бы, как указывалось в предыдущем замечании, можно было пренебречь
(сильным) электрон-электронным взаимодействием, то решение было бы
простым. Уравнение Шредингера
'?1НкФ = ЕФ в предположении, что k
Ф (гх... rN) = ф, (гх) ф2 (г2)... ф^(г^) (3.2)
и ? = распадается на одночастичные уравнения Hkqk(rk) -
k
= Ekq>k (rk). Этой возможности мешает член Hkk> в (3.1), зависящий от
координат двух частиц. Тем не менее для задачи (3.1) предположение (3.2)
дает приближенное решение, которое содержит частич-ный"учет*электрон-
электронного взаимодействия.
~'Мы 'используем'выражение (3.2) в уравнении Шредингера ЯФ -
- ЕФ с оператором Гамильтона Н в виде (3.1) и вычислим ожидаемое
значение энергии ?' = <Ф|Я|Ф>. При этом Я распадается на сумму
одночастичных операторов Hk и двухчастичных операторов Hkk'- Матричные
элементы, образованные посредством*^^), будут произведениями интегралов
<фА | Hk | фА> или <фаф*' | Hkk' | ф*ф*'> и
ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ - ФОКА
23
интегралов <ф/1 фу> Цфк, k'). Последние будут равны единице благодаря
нормировке <pft, которую мы можем считать заданной, и тогда остается
Это только ожидаемое значение энергии при произвольных <pft. Из
вариационного принципа следует, что наилучшие значения ц>к в рамках
предположения (3.2) такие, которые делают энергию Е минимальной. Для
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed