Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 147

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 158 >> Следующая

формулами
raP = 'Qqft (Ра -S^aPy) = j" Ру + bapn- t, ^ 6^ j ^ | P6 + fea&ypn-f-
+ р6Щ$ *") = ({ofp}"" {pv}dgfi *") Рб + ", (27)
гза = n"= - baPy, Гзз = 0. (28)
Использование формул (10.15) для представления компонент тензора кривизны
(равных в $3 нулю) приводит к громоздким выкладкам, Следует предпочесть
непосредственное рассмотрение условий интегрируемости системы уравнений
(10.10), приводимых здесь к виду
К = raPrf7P + rapC *3 = re,d<?" + г3Л = пи dqa. _(29)
Интегрируемость второй группы очевидна: г3 = п. Первая группа распадается
на две системы уравнений
а)
^ггаР ^'газ
* а * ^ а <*"
" ?3>_% (tm) =
дЯу dt76 &Q dqx
Уравнения (30 а) выполняются тождественно. Это легко проверяется по
формулам (27), (28), (14) и (11). Уравнения (306) будут нас интересовать
на самой опорной поверхности
(w~w)z=o ШРб + 6"2") ~д?(("1}Рб +ь^п ) =
= [4* Ш"43 {cflI + Ш { VI}~ U } { vz}] Рб +
+ [{a2}*6i"{al}6"2 + ^- 5^] n~(ba2 Ь\-Ь*А)9Ь-
Приравняв нулю коэффициенты при п и р6 , приходим к двум формулам Кодацци
dbn, дЬп9 ( б \ ( 6 1
~dq^ dq^= | "21 ^61 ~~ |al ) *62 ("=".2) (3!)
*) Квадратными скобками здесь обозначается разность предельных значений
величин при С -^ -]~ 0 и С -*-0
Ж?)1г=о = ИшфЮ- Игл ф(?).
Е->+0
494
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
и к формуле Гаусса
AJH Li 6 l + l V Ц 6 l_i у I i 6 I_ (b ьЬ-h b*) (32)
dq1 ("2 | dq2 (al | ^ ) a2 J | yl | )otl / 1 Y2 ( 4
Левая часть воспроизводит выражение (!0.П) при k--l, т -6, s = a, t~2 -
это компонента /?i2a- тензора кривизны в р/]2- на поверхности. Переходя к
его четырежды ковариантному представлению, имеем
atoRi*?. = Ri*ar- ~ (baib2).--ba2bix)
и по (10.18) следует принять а=--1, к2. Сославшись на (10.10), приходим к
представлению гауссовой кривизны через производные коэффициентов первой
квадратичной формы
([11, a) [22. Р1_
4212 2 \dqi* dqi* 0q^q2y
- [12, a] [12, f1])=----(блЬ22-^2)^-аК. (33)
5. Представления в линиях кривизны. В ортонормированием триэдре е,.
е2> ез
еа=ПГ1 = ГГ ' вз = п; йн ~ Hi ¦ а22=Н'1 0, У а --= Н,Н2. (34>
ца| а
В рассмотрении вводится плоская кривая Га - сечение поверхности
плоскостью векторов еа, п. Главная нормаль этой кривой (нормаль в стороне
вогнутости ее, к центру кривизны) обозначается гп, очевидно, что гп = еп,
8 = ± 1. По формулам для кривой
dm еа деа _ ш
доа ~ Ра ' доа ~ ра ' ('-5)
Здесь daa = Hadqa-элемент дуги на Га, ра-~ее радиус кривизны.
Было бы
ошибочно отождествлять главную нормаль in' в бесконечно близкой
точке 0/fi'
на Га с еп', п'-нормаль к поверхности в c/^''- Такое свойство присуще не
любой ортогональной сети на поверхности, а сети линий кривизны на ней.
Далее предполагается, что кривые [t/a[-линии кривизны. По их определению
три вектора еь п и пф-п^ dq1 расположены в одной плоскости
! 1
(e,Xn)-(n+n1d(?1) = 0, - е2-п, = тг р2-п, =--*"== 0.
П 2 П ^
Итак, на линиях кривизны
b\ = b\ = 0, 0. (36)
По (35), (36) и (11) имеем теперь
ni=-?p" = -tfpt. ~-b\^ ~=Ь1
Величины е.р~1, обозначаемые Д"1, называются главными кривизнами
поверхности- это взятые с надлежащим знаком кривизна глпзных нормальных
сечений Га. Итак, для линий кривизны
1 1 , Н\ Н\ " 1 ( 1 , 1
"Ill
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
495
Для координатных линий на поверхности, образующих ортогональную сеть,
символы Кристоффеля представляются выражениями
Эти формулы совместно с (37) позволяют переставить формулы Кодацци и
Гаусса в видах
Оставаясь па поверхности, принципиально невозможно определить кривизны
линий па ней. Но измерения на поверхности (знание первой квадратичной
формы) позволяют существам па ней констатировать наличие или отсутствие
гауссовой кривизны. Таково заключенное в формулах (30) и, в частности,
(41) содержание теоремы Гаусса- одного из величайших его достижений. В §
10 уже говорилось, что знание квадратичной формы (10.3) пространства трех
измерений позволяет установить, является оно евклидовым $3 или римановым
- в первом случае ;R --0, во втором JR Д 0. Аналогия с геометрией
поверхности объясняет наименование этою тензора тензором кривизны
пространства.
Изгибанием называют такую деформацию поверхности, при которой сохраняются
расстояния между ее точками, иначе говоря, остается неизменной первая
квадратичная форма. Гауссова кривизна - инвариант изгибания.
Н\ dr ' 112 f dq1 '
Н2 дН2<3 In #2
JJf Ihf ' ~ dq* '
(38)
( д 1 п Н2 j 1 |
\22f
д /Д дН1 1 д Н2 дН2 1
(40)
dq1 /Д - dif R2 ' dq1 R2 ' dq1 R, ' H,H2 d ,, дН2 d u
dH1
ТГ-p.- - - n~r 1 i n0 ¦ .
R,R2 " dq1 1 dq1- dq2 2 dq2 '
(41)
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
МОНОГРАФИИ
1. Грин А. Е., Адкинс Дж. Е. Большие упругие деформации и нелинейная
механика сплошной среды.- М.: Мир, 1965.
2. Лурье А. И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970.
3. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.- М.: Гос-техиздат,
1948.
4. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды.- М.: Физматгиз, 1962.
5. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды,-
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed