Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
<?3 в нуль тензора Риччи, выраженные в ортогональных координатах.
§ 11. Сведения из теории поверхностей
Эти сведения будут использованы в основном тексте. Содержание § 11,
конечно, не заменяет ни одной из многочисленных монографий по теории
поверхностей.
1. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Поверхность
определяется заданием вектор-радиуса р на ней, как функции гауссовых
координат q1, q2
Р = Р(<?1. <?2)- (1)
Квадрат линейного элемента da2 на поверхности определяется определенно-
положительной квадратичной формой (первая квадратичная форма)
I=das=rfp-rfp = p"d(?"-paA/P =aafidqadq&, oap = pa-pp (2)
(греческим индексом задаются значения 1, 2). Здесь
Ра=|^ (а=1'2) <3>
- базисные векторы на поверхности. Матрице L Осевсопоставляется обратная
II a"P II
а" = ^, "22=^, а12-fl-|oap| = aiia"-a*,. а"Рар7 = б".
§11] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 491
t
Эгим определяется метрический тензор на поверхности
Е2- Оа№"Рр -=a"(JPaf'P =РаР". ра-й"Ррр, ра-р|3 = бр. (5)
Здесь ра также принадлежащие поверхности векторы взаимного базиса.
Поверхность представляет риманово многообразие ^,2. Геометрию на ней
можно построить, основываясь на знании квадратичной формы (2) -
коэффициентов аар(<?1. Ч2}- Они могут быть определены измерениями длин
отрезков, проводимыми существами на поверхности, не знающими о третьем
измерении. Мы покидаем поверхность, введя в рассмотрение единичный вектор
нормали к ней
Pi ^ р2 1
п- - ------г = -- p1xps. (6)
| Pi У р21 ~у а
Дифференцированием соотношений ра-п = 0 приходим к формулам
Pap-п - - Ра-пр - 6ар, Рар-П - рр-пк, ^ар " йРа. (?)
определяющим величины Ьар~Ьра. По ним строится вторая квадратичная форма
поверхности
II - ba$dqadq$ , (8)
принимающая при переходе к новым переменным qa~=qa(q1, q'1) вид
П-бар-^ ^--dqVdq6 ly(,dqVdq6, by6 -- йар-^г- . (9)
ддУ dq6 ддУ dq&
Этим устанавливается, что Ьар - компоненты двумерного симметричного
тензора
В- 6кррарр =ftaP"Pp =6"Ppapp, bi = a$vbay, (Ю)
а векторы na, пр оказывается возможным представить формулами
па = - *"РЗ, пр=-&рра. (П)
Инварианты тензора В определяют величины
1Л (В)=Й +б! =2Я, I2(B)^b\bt-btbl = K = (bi,b22 - bu) (12)
называемые средней (Н) и гауссовой (JQ кривизнами поверхности.
2. Деривационные формулы. Вторые производные рар вектор-радиуса
поверхности не являются поверхностными векторами, их нормальные
компоненты по (7) равны ba$. Основываясь на определении коэффициентов aaр
= = Ра-Рр первой квадратичной формы и в точности повторив вывод формул
(4.5), приходим к равенствам
,|3)
Здесь в рассмотрение введены поверхностные символы Кристоффеля.
Формулам дифференцирования базисных векторов придается вид
Р"[3 - " | Pv + ^apn 0 4)
(деривационные формулы Вейнгартена). Для векторов взаимного базиса они
приобретают вид
Ш -{hK*""- "5>
что следует из формул (4.7) и соотношений pap^ :-6a, aaV 6^,66б •
492
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
3. Геометрия в окрестности поверхности. Вектор-радиус г точки в
евклидовом пространстве $3 в окрестности поверхности представляется
выражением
г=Р-Ьп?.
(16)
Здесь q3 = t-третья координата, отсчитываемая по нормали к поверхности.
Базисные векторы, ковариантные компоненты метрического тензора и их
определитель определяются формулами
Га = ра -{- ?па = Ра-&аРу , Г3=П, (17)
?аР = асф - 2^йар -|- g з = ра'П = 0, ?33= 1, (18)
g = giig22 - gli, Vg=(riXr2)-n -= У~а(\- 2Н1+ Kt2) (19)
- были использованы соотношения (7), (10), (11), (12),
Контравариантные компоненты метрического тензора при сохранении лишь
линейных по t слагаемых определяются выражениями
gaP = a"P-f2 ?6(r)P, (20)
что легко проверить непосредственным вычислением
ga$g^ = (°аР - 2?Ьар) (aPv-)-2?bPl') = 5а-)-2? (aaj$bfiv '-Рт^аР) = 6^,
как и требуется. Векторы взаимного базиса в этом приближении, набла-
оператор и метрический тензор определяются теперь формулами
r" = g"Prp =Р" + ?*ррР,
г3 = п, 3 ,
v=ra n!=(pa+^pp v
(21)
'I' <*>
Е = rar" + nn = papa + t (брРарР + 6"pppa) -f nn = E2 + 2^B + nn. (23)
Эти формулы позволяют сформулировать правила вычислений дифференциальных
операций с точностью до линейных по t слагаемых над тензорами, заданными
в <?3 в окрестности рассматриваемой "опорной" поверхности. В частности,
при ?=0 они определяют величины по самой поверхности. Приведем здесь
пример тензора (у?ф)^= о. Имеем
(т);=о = Г (
гР
Зф , Зф
з^р + п
-}-(ran+nv")
32Ф
Z=o ЗгР Зф
гагР
32Ф
dt,dqa dt
32ф
ппЛ72+гаХ^л7в+гап
dqa dqb
Зф , ЗгР Зф
1-Li.n , ... -i-
dt dt
и по (17), (21) VV (ф)^= о
рарР
д2Ф | V I ^Фь R^P 14-
dqadqР (а|3 f dqf dt
+(p"n-f пр")
dqadt
В предположении, что функции
Зф
ф' Щ*'
bZj&Y
32ф
?=о
(24)
S=o
§ 11] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 493
непрерывно дифференцируемы по координатам qa опорной поверхности *)
Л*],..-* [j&L.-*
получаем
пп [1г?]?=0^ nn(vv<p)E=o . f|l]E=0^n-^V9lE = o-n- (26)
4. Формулы Гаусса, формулы Кодацци. Вторые производные вектор-радиуса
г в окрестности поверхности, вычисляемые по (17) и (14), определяются
