Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
когда выражения в радикалах вещественных корней нельзя избавить от
комплексных величин. Численные значения корней разыскиваются в
тригонометрической форме
442
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
причем ф определяется подстановкой в (6)
§з = ;рр=- (4 sin3 ф -3sin ф) = - (у) /гsin 3-ф, (<))
так что A = g2COS23\[) > 0, как и требуется. По (9) находим три
значения х,
а по ним главные значения девиатора
Xl = sin ф, x2 = ~\f ^ sin (ф+-у-) > Кэ= j/^y sin (ф+у-) ,
Ш <y- (10)
В применении к девиатору теорема Гамильтона - Кэли приводится к виду (dev
Q)3+ /2 (dev Q) dev Q - Е/3 (dev Q) = 0 и из нее следуют формулы
/2 (dev Q) =---^ It ((dev Q)2), /3 (dev Q) = y /г ((dev Q)3),
/l(devQ)=y/1((devQ)4) (II)
и т. д. Сравнение (6) с дифференциальным уравнением Г2 (г) = 4Г (*)-*"?
(г)-ёз
для функции ^(г| g2, g3) Вейерштрасса обнаруживает, что xi, Хг, х3 -корни
(г1§2> 8з), стандартно обозначаемые еи ег, е3.
Формулы (11) известны в теории эллиптических функций
2,2,2 1 3,3,3 3 4,4.4 I2 ,, г,*
Х1+Х2 + Хз-2 82' Xi-f-Xa-f-Xs - у^з, + = у gz- (12)
§ 14. О тензорах высших рангов
Величиной
"Q = 9jlS2 "У г г, ...г rSft + 1 ...rSn (Г)
sk + i - snSt Sz sk
определяется тензор n-го ранга. Его ранг снижается на две единицы при
свертывании по двум индексам с номерами р и v. Получающийся тензор может
быть обозначен
(ц-v) (V• (X)
<n-2)Q = "Q=JlQ . (2)
Например, свертывание тензора третьего ранга 3C = Qa (диады
тензора второго
ранга и вектора) приводит к векторам
(1-2) (2-3) (3-1)
3С = lx (Q) а, 3С = Q-a, 3С = QTa.
Важным примером тензора третьего ранга служит тензор Леви-Чивита
e = esiqrsrtrci^e^rsr1rq. (3)
Его компоненты определяются формулами (2.3); все свертывания приводят
к нулевым векторам.
§14]
О ТЕНЗОРАХ ВЫСШИХ РАНГОВ
443
Свертывание тензоров четвертого ранга приводят к тензорам второго ранга.
Например,
(1-2) (1-3)
4C = PQ, 4С =/i(P)Q, 4С = Р -Q и т. д.
В частности, все свертывания тензора ЕЕ дают тензоры ЗЕ, Е. В числе
свертываний тензора шестого ранга QQQ имеются тензоры четвертого ранга
Q2Q, QQ2; двукратное свертывание приводит к тензору второго ранга Q3.
Операция сопоставления тензору n-го ранга тензора (п-1)-го ранга
осуществляется векторным перемножением двух базисных векторов на местах
р, и v (ц> v). Векторное произведение вписывается в месте v (слева) или в
р (справа). Возможны обозначения
•*- [nxv] [цхт]
(n-DQ= "Q , (n-DQ= nQ . (4)
Вектор, сопоставляемый (сопутствующий) симметричному тензору второго
ранга - нулевой
qst Tt xrs = e1sqqstTl = estqqshl = qstrs X rt = 0
и сопутствующий Q вектор 2m определяется только кососимметричной частью О
этого тензора по формулам (11.1), (Л.2).
В число тензоров второго ранга, сопоставляемых тензорам Qa, aQ, входят
тензоры (6.9)
Qxa. = qsfamefmqrsr(i = - (axQT)T, aXQ = - (QTXa)T. (5)
В частности, для симметричного тензора
Qxa = - (axQ)T, axQ = - (QXa)T (6)
и легко проверяется, что первый инвариант этих тензоров равен нулю
h (Qxa) = qstametmqrs-ri = qstametms = qsia^esmt = 0,
/1(aXQ) = 0.
К числу тензоров третьего ранга, сопоставляемых тензору ЕЕ, принадлежит
тензор Леви-Чивита
- ЕХЕ = - г^Хг*Г/5 = - rsrtrkeski = rsrtrkesik, е = -ЕхЕ. (8)
Представление (11.8) тензора Й через сопутствующий вектор m теперь
преобразуется к виду
Й = тхЕ = т-ЕхЕ = -т*е = -е-т. (9)
Соотношение (8) применяется к преобразованию векторных произведений.
Приходим к знакомым соотношениям (11.3)
ахо> = а-ЕхЕ-ш = - а-е-т = а-й, тха=й-а, (10)
применимым и к тензорам любого ранга
QXm = Q.ExE-m = -Q.e-m = QQ, mXQ = Q-Q. (11)
В применении к тензорам Q-QT, QT-Q по (4.18) и (1.4) имеем Q-QT = (S+Q)-
(S - Q) = S2+O.S-S.O - Q2=S2 + mxS+(mXS)T +
-fEm-m - mm, (12) QT.Q = S2-mxS -(mxS)T+Em-m-mm. (13)
444
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Однократное свертывание тензора шестого ранга ее приводит к тензору
четвертого ранга
е-е = (ЕхЕ)-(ЕхЕ) = ЕхЕхЕ = г srs X rfTtXr^rk =
= est4eikmxsT(lrmrk= {§1§т-OI) r5r"r"rft =
= rsrftrV - r^r'V = Cn - Cm.
Здесь введены обозначения тензоров четвертого ранга, названных далее
изотропными
Сц=г4.г^Ог*, Cnl = rsrftrV = r4.Er^. (14)
Приходим к соотношению
е-е = ЕхЕхЕ = Сц-Сщ. (15)
При двукратном свертывании
е- •e = rJrft-rJr/'-rsrm-rmts = Е - ЗЕ = - 2Е. (1(5)
Следствием этого соотношения является обращение формул (8) и (11.8)
е--Й = - е-•е-ш = 2Е-(о = 2о), со = -^-е--Й. (17)
В частности, по (11.1) сопутствующий диаде ab вектор
ю=-^-Ьха (18)
и по (17) векторное произведение axb оказывается представимым в виде
ах b = e--(ba - ab), ba-ab = Ex(axb). (19)
Замечание. Применяется обозначение векторного произведения в форме
"векторного инварианта"
y(ab - ba)^ = у (axb -bxa) = axb.
§ 15. Изотропные тензоры
Компоненты тензора, называемого изотропным, остаются неизменными при
любом ортогональном преобразовании векторного базиса. Конечно,
произведение изотропного тензора на скаляр - изотропный тензор.
Единичный тензор - единственный изотропный тензор второго ранга, его,
например, ковариантные компоненты в исходном и повернутом базисах равны
