Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
обычном пространстве, то любой другой вектор может быть записал в виде
линейной комбинации этих трех векторов, т. е. любой другой вектор А может
быть записан в виде А. = c1i -j- c2j c3k. С другой стороны, единичный
вектор i не может быть выражен в виде линейной комбинации других
единичных векторов j и к, и поэтому он, как говорят, линейно независим от
j и к.
Если же рассматривается суперпозиция состояния с самим собой, то в
результате мы не получим нового состояния, а снова получим первоначальное
состояние, т. е. когда складываются величины сх | а; и с2 | а), где сх,
с2 - произвольные комплексные числа, то получается
Ci | а> + с2 | а) = (с± + с2) | а),
причем все кет-векторы сх \ а), с2 | а}, (с1 -f- с2) | я) представляют
одно и то же состояние системы, за исключением случая, когда сх -f- с2 =
0. Последний случай соответствует отсутствию состояния вообще. Таким
образом, состояние системы целиком определяется "направлением" кст-
всктора. А это означает, что кет-векторы + | а) и - | а) представляют
одно и то нее состояние. Следовательно, между состоянием системы и
"направлением" кет-вектора в пространстве кет-векторов существует взаимно
однозначное соответствие. Это утверждение не имеет аналогов в
классической механике. Оно показывает, что классический и квантовый
принципы суперпозиции отличаются друг от друга.
Действительно, если в классической физике складываются два тина колебаний
струны, отличающиеся друг от друга только амплитудой колебаний, то в
результате образуется новый тип колебаний с другой амплитудой, т. е. в
классической системе различные амплитуды соответствуют различным
состояниям системы. Совершенно по-другому обстоит дело в квантовой
механике. Согласно сказан ному выше все три амплитуды соответствуют
одному и тому
1.3]
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. БРА-ВЕКТОРЬТ
23
же типу колебаний, так как в квантовой механике нет понятия, аналогичного
классической амплитуде: существен ным является только направление кет-
вектора. Кроме того, в квантовой мехапике вообще нет состояния, в котором
полностью отсутствует движение (т. е. состояния с ci + сг = 0, как это
имело место в приведенном выше примере): отсутствие какого-либо движения
вообще ничему не соответствует в квантовой мехнике, в то время как в
классике состояние покоя является одним из состояний системы.
Пространство кет-векторов, или "векторов состояний", может иметь конечное
или бесконечное число измерений. Размерность (или число измерений)
пространства определяется количеством линейно независимых кет-векторов в
этом пространстве. Так как независимые состояния квантовой системы
изображаются независимыми кет-всктора-ми, то размерность пространства
определяется числом независимых состояний квантовой системы.
1.3. Скалярное произведение. Бра-векторы
Мьт ввели кет-векторы в абстрактном линейном векторном пространстве,
утверждая, что их проекции па данную систему ортогональных осей в
бесконечномерном пространстве (т. е. в пространстве с бесконечным числом
измерений) дают значение волновой функции ф (q, t) в момент времени t в
координатном представлении. Этот формальный прием помогает нам паглядпо
представить процедуру введения кет-вектора. Наиболее существенный момент
в определении кет-векторов состоит в том, что направление вектора в кст-
прострапстве и каждое состояние системы находятся во взаимно однозначном
соответствии между собой.
На определенном этапе изучения обычного векторного анализа вводится
скалярпое произведение. Одно из возможных определений скалярного
произведения состоит в том, что любой паре векторов А и В сопоставляется
действительное число/, Которое записывается в виде
f = (AJ3).
На первый взгляд это определение может показаться весьма странным. Однако
после небольшого размышления видно, что это определение является более
общим, чем
24
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
любая другая формула, которую мы можем привести для вычисления числа f по
заданным векторам А и В. Одной из таких формул является формула / = | А |
| В | cosft, где первые два множителя дают абсолютные значения векторов А
и В, а# - угол между этими векторами. Однако длина любого вектора уже
сама по себе определяется только через скалярное произведение вектора на
самого себя, так что в действительности последняя формула не может
являться настоящим определением понятия скалярного произведения двух
векторов, несмотря на то что она бывает очень полезной на практике.
В более общем понимании скалярное произведение некоторого вектора В со
всеми другими векторами А в пространстве может рассматриваться как способ
определения самого вектора В. Действительно, если для всех векторов А
задается некоторая совокупность чисел / (В), то тем самым определяется и
вектор В. Например, в трехмерном пространстве в качестве таких векторов
достаточно выбрать три единичных лииейпо независимых вектора i, j и к и
определять любой вектор В с помощью задания скалярного произведения этого
