Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
величиныф (дД, ф (qz), Ф (<?з)' являются проекциями некоторого вектора
соот-
ветственно на оси координат qx, qz, q3,... Тогда такой вектор
представляет состояние системы точно так же, как и его проекции. Так как
этот вектор комплексный, то он не является обычным вектором, и поэтому мы
должны ввести для него специальное обозначение, так же как это делается
для обычного вектора. Для того чтобы отличить его от обычных векторов,
Дирак использует для обозначения этого вектора символ | > и называет его
кет-вектором или просто кет. В частности, вектор, компоненты которого
равны ф (б/х), ф (r/Д, ..., называется ког-вектором ф и обозначается |
ф>. Рис. I схемат ически показывает вид вектора | фх и его "проекции" на
указанные выше взаимно перепен-дикулярные оси. К сожалению, из всех осей
могут быть показаны лишь три.
Двигаясь далее по пути аналогии, мы можем сказать, что если А является
обычпым вектором, а (х, у, ъ) - декартовы координаты, то вектор А может
быть определен путем задания его проекции па эти оси: А = (Ах, А]п AД, т.
е. вектор А может быть "представлен" с помощью его проекций. Точно так же
и кет-вектор | ф ) может быть определен с помощью его проекций на
ортогональные
*) Приведенная интерпретация, вообще говоря, некорректна. Однако она
может помочь читателю при восприятии векторного пространства, называемого
гильбертовым пространством, которое определяется как пространство
квадратично интегрируемых функций.
20
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. i
g-оси: 11); > = [-ф (дД,!); (g2), ...]. Таким образом, величина А
представляет вектор точно так же, как это делают его проекции на
определенные оси. Аналогичным образом вектор | ф } представляет состояние
системы точно так же, как это делают его проекции на g оси. В последнем
случае говорят, что кет-вектор задается в координатном представлении.
Вектор А может быть также задан с помощью его проекций па оси другой
декартовой системы координат (х', у', г'), повернутой относительно
системы (х, у, z): А - (А..,', АУ', А,'). Аналогично этому и кет-вектор
Рис. 1. Наглядная диаграмма кет- Рис. 2. Наглядная диаграмма вектора и
трех его координатных кет-всктора и трех его компо-
| ф ) может быть задан в другом представлении: | ф> = = [ф 0а)> Ф (Рг)>
ф(р3). •••!• Это представление называется импульсным и может быть
выражено через проекции того же самого вектора | ф > на систему
координат, оси которой повернуты по отношению к осям старой системы
координат; это показано на рис. 2. При этом связь между величинами g и р
определяется преобразованием Фурье.
Отсюда ясно, что должно существовать бесконечное число других
эквивалентных представлений состояния системы, которые, очевидно, не
могут быть столь наглядными, если не вводить в теорию понятие кет-
векторов. Для того чтобы развивать теорию дальше, мы должны теперь более
точно определить свойства кет-векторов.
представлении.
нент в импульсном пространстве.
1.2J
КЕТ-ВЕКТОРЫ
21
1.2. Кет-векторы
Как уже упоминалось выше, Дирак называет кет-векторами векторы,
обозначаемые символом | а), | х) и т. д. Кет-вектор в общем смысле
обозначается символом [ ), а обозначение внутри этого символа указывает
на частные кет-векторы.
В связи со сказанным выше, будем с каждым состоянием изучаемой
динамической системы связывать определенный кет-вектор. Поскольку мы
постулируем принцип суперпозиции состояний, т. е. что линейная
суперпозиция состояний системы также является одним из состояний той же
системы, то пространство кет-векторов должно быть линейным векторным
пространством (см., например, [8]).
Говорят, что векторное пространство является линейным векторным
пространством, если оно содержит вместе с кет-вектор ами | а) и | Ь)
любую их линейную комбинацию вида
где сх и с2 - произвольные комплексные числа. Линейность векторного
пространства является выражением принципа суперпозиции, заключающегося в
том, что линейная комбинация двух состояний системы также является
состоянием системы.
Если кет-вектор зависит от параметра д', который может принимать любые
значения из некоторого интервала Яг =€= я' ^ Яы то мы можем обобщить
соотношение (1.1а) на случай непрерывного набора состояний:
где с (q') является обычной (комплексной) функцией параметра q', а вектор
| v) принадлежит кет-пространству. В случае приведенных выше соотношений
(1.1а) и (1.1b) говорят, что кет-вектор | и) (или | и" линейно зависит от
кет-векторов | й> и | Ь) (или от l#'})- Если в некоторой совокупности
(двух или более) кет-векторов ни один из них не может быть выражен в виде
линейной комбинации
| и) = сг I а) + с2 | й>,
(1.1а)
(1.1Ь)
ДИРАК ОБСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
любых других кет-векторов из данного набора, то говорят, что эти векторы
линейно независимы.
Хотя классический и квантовый принципы суперпозиции, как мы увидим ниже,
различны, полезно отметить некоторую аналогию между ними. Например, если
i, j и к являются тремя взаимно перепендикулярными единичными векторами в
