Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
задач, так как обобщение задач на трехмерный случай, как правило,
является достаточно ясным и простым. Проблема вырождения для простоты
также будет обсуждаться только вкратце, В последней части главы убудет
показано, как
ВВЕДЕНИЕ
17
из более общей формулировки Дирака может быть получена шредингеровская
формулировка нерелятивистской квантовой механики.
Автор ни в коей мере не претендует на математическую строгость изложения
теории и ради |простоты опускает многие тонкие и более трудные вопросы.
Постулаты теории не будут полными, однако они должны быть вполне
достаточными для того, чтобы читатель мог познакомиться со многими
математическими методами и физическими понятиями, содержащимися в
квантовой механике. Коротко говоря, данная глава предназначается как
введение в дираковскую формулировку квантовой механики; для более
глубокого изучения этого предмета читатель отсылается к любой из
превосходных книг по квантовой механике [1-7].
Дираковская формулировка содержит понятие векторов (и операторов) в
пространстве конечного или бесконечного числа измерений. В качестве
примера дадим простую иллюстрацию того, как такие векторы появляются в
теории. Рассмотрим частицу с массой т, движущуюся в поле одномерного
потенциала V (q), где q-координата частицы, которая может принимать любое
значение от - оо до -f- оо, т. е. частица может находиться в любой точке
этого одномерного пространства. Согласношредин-геровской формулировке
волновой механики [4] состояние частицы в момент времени t описывается
волновой функцией в координатном представлении ф (q, t). Если над
системой не производятся никакие измерения, то это состояние ф (q, t)
развивается только причинным образом из состояния с волновой функцией ф
(q, t0) в момент времени t0 согласно волновому уравнению Шредингера,
которое имеет вид
й2
2 т
dq2
+ V (?) Ф (з. *) = in ~дГ Ф (?> *)"
где U - постоянная Планка, деленная на 2л.
Вероятностная интерпретация функции ф (q, t) (необходимая при измерении
положения частицы) заключается в следующем: величина |ф (q, t)|2 dq дает
вероятность нахождения частицы в интервале между q и q -j- dq в тот
момент времени t, когда определяется положение частицы,
18
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ.
Мы можем получить другую волновую функцию, если взять фурье-образ функции
ф (q, t) *)
r" (р' *) = -щ- ,f 'f 0XP (" ')<*?•
-*oo
Она называется волновой функцией в импульсном представлении, а величина р
является импульсом частицы. При этом функция cp (р, t) полностью
определяется волновой функцией ф (q, t), которая представляет состояние
системы в момент времени t. Следовательно, можно сказать, что функция ф
(р, t) представляет то же самое динамическое состояние системы, что и
функция ф (q, t). Для импульсной волновой функции ф (р, t) вероятностная
интерпретация заключается в том, что величина | ф (р, t) \2 dp дает
вероятность нахождения импульса частицы в процессе измерения в интервале
между р и р + dp.
Теория может быть развита одинаковым образом как в координатном, так и в
импульсном представлении. Фактически представление играет ту же самую
роль, которую играет система координат в обычной геометрии. В обычной
геометрии любые задачи могут быть решены с помощью векторов без
использования конкретной координатной системы (и, следовательно, в более
общем виде). Поэтому интересно задать вопрос: может ли и квантовая
механика быть сформулирована в таком виде, который не зависел бы от вида
используемого представления? В этом случае все результаты не зависели бы
от вида представления. Следует все же подчеркнуть, что в такой
формулировке пи в коей мере не должны быть потеряны очевидные
преимущества использования конкретного представления. При проведении
конкретных вычислений всегда необходимо использовать удобное
представление, подобно тому как при проведении конкретных вычислений в
векторном анализе всегда может быть выбрана удобная система координат
*) Преобразование Фурье существует лишь тогда, когда су-
ОО
ществует интеграл j* | ф (д) |2 dq, т. е. функция ф (д) (а также
- ОО
функция ср (р)) должна быть квадратично интегрируема.
1.11
ВВЕДЕНИЕ
19
Именно в этом и заключается основная цель дираковской формулировки
квантовой механики: развить теорию, не зависящую от какого-либо
определенного представления.
Для того чтобы понять, как развивается программа построения такой теории,
попытаемся дать геометрическую интерпретацию волновой функции ф {(]) в
момент времени t, воспользоваввшсь при этом понятием вектора *). Кат;
указывалось ранее, координата q может иметь любое значение в интервале от
- оо до + оо. Для каждого конкретного значении q (например, glt qz, qs,
...) волновая функция ф ((/) принимает значения ф (дД, ф (qz), ф (q3),
... Мы можем теперь представить себе пространство с бесконечным числом
измерении, которое имеет систему взаимно перенендикуляриых осей, каждая
из которых обозначается одним из значений g (q±, qz, qs, ¦¦¦), а
