Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 48

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 122 >> Следующая

тогда функция F (b) может быть определена только для вещественных
значений Ь. Во всех этих случаях не будем касаться вопросов строгого
математического обоснования.
В дальнейшем мы часто будем использовать параметры, которые являются с-
числами (не операторами). Мы не будем уточнять, когда эти параметры
являются действительными, чисто мнимыми или комплексными. Будем
предполагать, что они могут быть комплексными и что все другие связанные
с ними величины вводятся соответствующим образом. Например, если ? -
комплексное число и F (А) - ехр (Ъ,А), то мы молчаливо предполагаем, что
F (z) является функцией, которая определена при комплексных (z).
Теорема 1. Пусть А и В - некоммутирующие операторы, а | - параметр.
Тогда, если п - целое, то
<ХАВпе~Ы = {сМВе~^А)п
(3.3)
146
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
И
e*-AF {В) е~*А = F (е*АВе--Ы). (3.4)
Когда п = 1, соотношение (3.3) превращается в тождество.
Доказательство. Для доказательства соотношений (3.3) и (3.4) отметим, что
e\Aert.A = I (3.5)
Теперь, используя это равенство, правую часть соотношения (3.3) можно
записать в виде произведения п сомножителей:
(ААВ(г^А(ААВ,г^А. .. е^АВе^А,
что и доказывает соотношение (3.3).
Для доказательства соотношения (3.4) воспользуемся разложением (3.1) для
функции F (В). Тогда, учитывая доказанное соотношение (3.3), получим
&AF (В) е~*-А = 2 спе^АВпе-^А =- 2 с" (F-ABe^A)n.
П П
Если теперь в соотношение (3.1) подставить в качестве аргумента величину
е'^Ве~'1Л и сравнить полученную формулу с написанной выше последней
суммой, то мы получим доказательство соотношения (3.4).
Рассмотрим применение этой теоремы для случая, когда А = iplh, В = F (q),
где [q, р] = ih. Тогда в силу соотношения (3.4) имеем
ехр (*?.) F(q) ехр =
= F(exp(-^)ffexp( - -^-)). (3.6)
Если | - действительное число, то тогда из формул (1.122), (1.123) и
(1.126) следует, что
exp(-^-)gexp(- -^-)=g-R. (3.7)
Поэтому выражение (3.6) превращается в следующее:
= ехР F (д) ехр (- ~) =-= F (q + Е). (3.8)
3.2]
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О Г. ОПЕРАТОРАХ
147
Существует другое интересное доказательство соотношения (3.8). Если мы
возьмем частную производную по | от выражения для функции / (?, р, q) в
равенстве (3.8) и воспользуемся соотношением (1.120), то получим
(3-9)
Последнее равенство представляет собой дифференциальное уравнение в
частных производных относительно функции /.
Очевидно, что любая функция, которая имеет вид
/ (I, Р, Ч) = g (q + I), (З.Ю)
является решением уравнения (3.9). Для того чтобы найти вид функции g, мы
положим ^ = 0 в формулах (3.8) и (3.10). Тогда получим
/ (0, p,q) = F (q) = g (q).
Отсюда сразу следует соотношение (3.8). Мы будем часто пользоваться этой
техникой для доказательства следующих теорем этой главы.
Теорема 2. Если А и В - два некоммутирующих оператора и существует
оператор Л-1, то тогда
АВп А-1 - (АВА~1)", (3.11)
где п - целое число, и
AF (В)А~1 = F (АВА-1). (3.12)
Доказательство. Эта теорема доказывается так же, как теорема 1. В теореме
1 операторы ехр (+|Л) всегда существуют, в то время как в теореме 2 можно
использовать только такие операторы А, для которых существуют обратные
операторы Л-1'. В частном случае, когда F (В) = = ехр (В), соотношение
(3.12) принимает вид
АевА~1 = ехр (ЛБЛ-1). (3.13)
Теорема 3. Если А и В - два заданных некоммутирующих оператора и | -
параметр, то тогда
1
148
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
и разложим функцию / (?) в ряд Маклорена по степеням параметра ?.
Рассмотрим производные функции / (?):
Продолжая этот процесс, получаем формулу (3.14).
Применим эту теорему для случая, когда А = iplh, В = q, и допустим, что ?
- действительное число. Тогда, если [р, q\ = - ih, то из соотношения
(3.14) мы получим
ибо все остальные коммутаторы в соотношении (3.14) обращаются в нуль. Это
и есть как раз формула (3.6), которая была выведена ранее другим
способом.
Рассмотрим еще одно применение этой теоремы. Положим А - q2l2 и В = djdq,
где q - переменная. Легко показать, что
(при этом мы молчаливо предполагаем, что обе части равенства (3.16)
действуют на некоторую функцию F {q)). Кроме того,
и поэтому ряд (3.14) обрывается на втором члене и приобретает вид
Здесь снова молчаливо предполагается, что мы применяем левую и правую
части этого операторного равенства к некоторой функции от q, например к
функции F (q).
шт =
[л,-|-] = [Л, [Л,/(?)]], -Щ=0= [А [А, В]].
exp(-^jf-)gexp (- = q + I =9 + 1. (3.15)
(3.16)
[А, [А, В)) =~\q\~q) = О,
(3.17)
3.2]
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОПЕРАТОРАХ
149
Из равепства (3.17) и теоремы 2 (формула (3.11)) мы также находим, что
,V,W (3.18)
где п - целое число.
Теорема 4. Если А и В - два некоммутирующих оператора, которые
удовлетворяют условиям
[А, 1А, В]\ = [В, [A, BW = 0, (3.19)
то тогда
еА+В - еАеВе-Чг[А, В] _ еВеАе+'/,1А,В\ . (3.20)
Эта теорема является частным случаем теоремы Бекера - Хаусдорфа из теории
групп. Для читателя, интересующегося более тонкими вопросами операторного
формализма, могут быть интересны работы [16-19]. Приведенное здесь
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed