Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 47

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 122 >> Следующая

n=0 Vnl
142
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. П
где | - некоторый параметр и [а, а+] = 1. Если <0 | 0> = 1, то чему равна
норма вектора ехр (|а+) | 0>?
2.5. Пусть [а, а"*"] = 1 и а+а \пу = п\ пу. Покажите, что оператор ехр
(?а+а), где - некоторый параметр, можно представить в виде
ОО
ехр t&cfta) - ^ е^п I пу <п |. п=о
2.6. Докажите, что полный орбитальный угловой момент (2.74) удовлетворяет
следующим соотношениям коммутации:
[1\ Ц] = 0, i = 1, 2, 3.
2.7. Найдите матричные элементы операторов сг+ и сг_ (соотношения (2.79))
в том представлении, в котором оператор ах диагоналей.
2.8. Выведите соотношения (2.80).
2.9. Определите средние значения операторов ох и ау в состоянии (2.114).
Глава III
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
ЗЛ. Введение
В четвертой главе мы рассмотрим квантовую теорию электромагнитного поля и
покажем, что поле излучения эквивалентно бесконечной совокупности
гармонических осцилляторов. Поэтому неудивительно, что в теории
квантованного электромагнитного поля операторы рождения и уничтожения
играют центральную роль. Они удовлетворяют некоммутативной алгебре.
Поэтому для нашей дальнейшей работы необходимо развить аппарат, который
позволил бы более свободно пользоваться этими операторами [14, 15] *)•
Необходимость более осторожного обращения с бозе-операторами рождения и
уничтожения можно нокавать на простом примере
?>?а+*1а+ ^a
где | и 1] - параметры. Таким образом, простейшие правила обычной алгебры
неприменимы при работе с этими операторами. Мы будем в дальнейшем решать
уравнения Шредингера, в которых гамильтониан выражается через бозе-
оиераторы. Техника работы с операторами, которую мы разовьем в этой
главе, позволит довольно просто решать такие задачи. В то же время
решение этих задач без подобной операторной техники было бы довольно
трудно или почти безнадежно. Операторная техника, которую мы разовьем,
будет применена и к спиновым операторам, введенным в гл. II.
*) Автор глубоко признателен доктору JI. Р. Уолкеру из фирмы "Лаборатории
Белл Телефон" за консультации по многим вопросам операторной техники,
изложенным в этой главе.
144
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
В первой части мы выведем несколько теорем, которые справедливы для всех
некоммутирующих операторов.
Во второй части детально изучаются бозе-операторы и вводится важное
представление о нормальной форме этих операторов. С помощью этого понятия
можно относительно просто решать уравнение Шредингера, уравнение для
статистического оператора, вычислять матричные элементы и т. д. В
разделах 3.5 и 3.6 мы подробно покажем, как можно использовать эту
технику для решения уравнений Шредингера, описывающих некоторые системы.
В качестве простого применения некоторых теорем о бозонах мы выведем
производящую функцию для волновых функций гармонического осциллятора и
обсудим развитие во времени осцилляторного волнового пакета с минимальной
неопределенностью.
В третьей части мы выведем несколько теорем для операторов частиц со
спином 1/2, которые рассматривались в гл. II. В дальнейшем они окажутся
полезными в гл. V, а также в гл. VII при рассмотрении простой модели
мазера. Для иллюстрации различных математических методов вычислений
некоторые теоремы доказываются здесь разными способами. В ряде случаев
имеются другие, еще более простые доказательства, по желательно владеть
несколькими методами, для того чтобы по мере надобности при решении
каждой задачи выбирать наиболее удобный способ.
Мы не уточняли условий справедливости сформулированных в настоящей главе
теорем. На самом деле некоторые из приведенных ниже теорем справедливы и
при более общих условиях. Однако данная книга не является математической
книгой, а паша цель состоит в том, чтобы научиться решать задачи, не
уделяя излишне много внимания вопросам строгого обоснования.
1. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
3.2. Некоторые теоремы об операторах
В этом разделе мы выведем несколько полезных теорем о свойствах двух
некоммутирующих операторов А и В. В дальнейшем мы будем оперировать с
функциями от А или В\ при этом будем предполагать, не оговаривая этого
3.2] НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОПЕРАТОРАХ 145
при формулировке каждой теоремы, что функции могут быть разложены в
степенной ряд. Таким образом, любая функция от В может быть разложена в
ряд вида
ОО
F{B)=^cnBn, (3.1)
п=0
где сп - постоянные коэффициенты. Эти постоянные называются с-числами.
Приведенное выше разложение не является наиболее общим, но оно
оказывается достаточным для наших целей. На самом деле некоторые теоремы
будут справедливы и для функций более общего вида, но мы опять-таки не
будем касаться этого вопроса.
Кроме того, для того чтобы функция (3.1) имела смысл и в том случае,
когда она применяется к собственным векторам оператора В, ряд
ОО
F{b)^cnbn, (3.2)
п=0
где b - собственное значение оператора В, являющееся в общем случае
комплексным числом, должен сходиться и функция F (b) должна быть
определена и для комплексных значений Ь. Если оператор В эрмитов, то
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed