Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
также его координаты и импульс. Спин коммутирует как с координатами
электрона, так и с проекциями импульса, так что возможно такое
представление, в котором одновременно диагональны операторы qx, q2, q3 и
Gz, а базисные векторы имеют вид 1<7ь <72, <7з <П>, где q'i и а'г -
собственные значения соответствующих операторов. Значения q\ могут быть
любыми от-оо до +°°, а собственные значения a'z равны только + 1 или - 1.
В дальнейшем мы будем интересоваться лишь спиновыми свойствами электрона
- в этом случае координаты электрона можно пе рассматривать.
Рассмотрим поведение спина электрона в постоянном магнитном поле,
направленном вдоль оси z. Гамильтониан такой системы согласно соотношению
(2.104) имеет вид
Гейзенберговские уравнения движения (1.218) для операторов az, а+ и сг_
принимают в этом случае вид
Последние соотношения можно получить, используя выражение (2.107) и
коммутационные соотношения (2.80с). Согласно формулам (1.216) решения
уравнений (2.108)
2.8. Оператор спина в гейзенберговском представлении
Н = ря0н2.
(2.107)
2.8]
ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
139
имеют вид
ш'а taio
г - -i ------
= бг.
03 !oz -i . oze wtaz
oz (t) = e 2
03 taz о>toz
o+ (t) = e 2 2
сз_ (t) e аз taz -i <ato
2 2
(2.109)
а_е
I-газ t
где частота определяется разностью энергетических уровнен
Па =2(1Я0. (2.110)
Для получения равенств (2.109) мы использовали (1.216), где положили
иу,0) = е~1^. (2ЛИ)
В соотношениях (2.109) операторы oz (t), ст+ (t) и (t) даны в
гейзенберговском представлении, а операторы a'z, <у+ и а_ - в
представлении Шредингера.
Кет-вектор произвольного состояния в момент времени t имеет вид
Ыа
-г -
Ж0> = е Ж0)>.
(2.112)
Начальное состояние в силу соотношения полноты (2.84) можно записать в
виде
I ^ (0)) - | + 1>< + 1 | ф (0)> + I - 1><-1 I Ф (0))=
= сх | + 1> + С2 | _ 1>, (2.ИЗ)
где сх и с2 - произвольные постоянные. Отсюда следует, что вектор
состояния 11|) (t)) в момент времени t имеет вид
. 031 . 031
| i|j (*)> = <*? 1 2 | + 1 > + c2e 2 1-1). (2Л1ч)
По условиям нормировки <г|) (t) I г|5 (0) = <^ (0) |lj5(0)) = l. Поэтому
постоянные cx и c2 должны удовлетворять соотношению
I Cl I2 + I c2 I2 - 1. (2.115)
140
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. и
В качестве упражнения читателю предлагается показать, что средние
значения операторов ог и (Т+ в состоянии | if (t)) равны
<32> = <if (*) | <321 If (*)> = I сг I2 - I с212,
(б+> = с\с2еш, (ахУ = с'1с2ешс1с2е~ш, (2.116)
(о_) = (av) = - 1с{с2еш -f- ic^e-*"1.
Таким образом, <стж> и <<ту) прецессируют вокруг оси z с частотой со, а
<о2) остается неизменным. Такое поведение характерно и для классического
магнитного момента во внешнем магнитном поле.
3. ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
В четвертой главе мы рассмотрим квантовую теорию взаимодействия
квантованного излучения с веществом. Здесь же мы дадим краткий обзор
такого взаимодействия для неквантованных полей.
2.9. Гамильтониан электрона в электромагнитном поле
Рассмотрим электрон с зарядом е, массой т и спином s в магнитном поле Н.
Пусть А является векторным потенциалом, определяемым соотношением
В = rot А = ц0Н, (2.117)
где р,0 - проницаемость вакуума. Тогда гамильтониан такой системы имеет
вид
Н = -ъг(р-еА)* + $(оН), (2.118)
где [I - магнетон Бора и р - импульс электрона *). Этот гамильтониан
представляет собой нерелятивистское приближение для энергии электрона в
магнитном поле. Векторный потенциал и магнитное поле Ы соответствуют той
точке пространства, где в данный момент находится электрон.
*) Обобщенный канонический импульс электрона определяется соотношением р
= mV -f- еА, где т и V - соответственно масса и скорость электрона.
ЗАДАЧИ
141
Если магнитное поле постоянно и направлено вдоль оси z, то решение задачи
о собственных значениях гамильтониана (2.118) весьма красиво и очевидно.
Оно приводит к квантованному циклотронному движению электрона. Так как у
нас не будет потребности в этом решении, то мы его опустим.
Если электрон находится к тому же в поле протона с зарядом -\-е, то
гамильтониан примет вид
tf = + (2.119)
где г - расстояние между электроном и протоном. Если А = Н = 0, то этот
гамильтониан описывает атом водорода в предположении, что протон
бесконечно тяжел. В одной из следующих глав мы рассмотрим те
видоизменения, которые необходимы для учета движения протона.
ЗАДАЧИ
2.1. Напишите матричные элементы операторов р и q для гармонического
осциллятора в iV-представлении.
2.2. Покажите, что энергетическая собственная функция осциллятора в
координатном представлении может бить записана в виде
аг<г*
, f a2n+1 ( h d \п
"п(9') = 1/ 1
где а = Y
2.3. Пусть пит - целые числа, а а и а~*~ - операторы уничтожения и
рождения бозонов. Покажите, что
"mln> = |/ (п -т)~ I п ~ т> = а+(П~т) I °>*
-ь(tm) а+(п+т) г <пл_т\\
I П> = Vt\ ' 1 > = У п\ 1га+"г>-
где а+а | га) = га | га>.
2.4. С помощью разложения в ряд покажите, что
ОО
е^а [ 0> = | 0>, е5"+ | 0> = 2 J^L. I ""<
