Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
вектора и В1а - коэффициенты разложения. Можно записать В
как сумму компонент, одна из которых параллельна fc; (продольная) и две
перпендикулярны fc; (поперечные). Таким образом,
В (г) = Вг + Въ. iL-5)
ВЫЧИСЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ КОММУТАЦИИ для поля 385
к[
Если мы положим ej,-- т0 чз формулы (Е.4) получим
i 2
дТ (r) = S 2 Вг°ег° ехР
I 0=1
(Е.6)
вЬ (г) = S вйегз ехР (- *V)>
г
где div Вт = 0 и rot = 0. Рассмотрим теперь интеграл
г=1
Покажем, что
т. e.J поперечная 6-функция выделяет поперечную компоненту вектора.
Если мы подставим (Е.4) и (В.1) в (Е.7), то получим
1 3
1 = 2 2 2 ВЛ dr охр (" i1cir) (егЛ х
i~l I CJ=1
X ехр (- Исгг) 2 ~]j ехР №**1' "" r- krikrP' (В.О)
\ Если мы заметим, что
L
О
и вспомним, что
dr охр [г (ft,, - ft,) г] = 8lr, (Е.10)
9тг
fc! = -^(W + /2j+/3k), (E.ll)
а также просуммируем в (Е.9) по Г, то выражение (Е.9) преобразуется
следующим образом:
з з
1 = -JJk 2 2 В1° ехР (- ис1г>) 2 (егЛ (Si^ - W- (ЕЛ2)
г о=1 i=i
386
ПРИЛОЖЕНИЯ
Легко показать, что з
(ela)j, если 0 = 1,2,
если о = 3.
2<е1Л<в"-ккки>={ еГ
(я1 ' *
3.12)
1 = 7^2 2 Bi°ехр (_ ikir'] (eioV
(Е.13)
Используя это, получаем из (Е.12)
2
I 0=1
Теперь, используя выражение (Е.6), легко показать, что соотношение (Е.8)
справедливо. Если мы вспомним, что 6у = 6^, то увидим, что (Е.1)
получается из (Е.2) с помощью формул (Е.7) и (Е.8).
Приложение Ж
ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ В УРАВНЕНИИ (5.137)
В этом приложении мы рассчитаем сумму в уравнении (5.137) основного
текста [24].
Рассмотрим сумму по поляризациям а. На рис. 11 показано расположение
волнового вектора и дипольного момента атома (обозначены вектора к/, я>,
ж' и углы 0/и ф/). Для простоты мы
Рис. 11. Расположение волнового вектора и атомного дипольного
момента.
предположим, что жиж' имеют только ^-компоненты. Волновой вектор имеет
компоненты
kj = (sin 0; COS ф/, sin 0; sin ф;, COS 0;). (Ж.1)
Единичные ортогональные векторы поляризации могут быть записаны в виде
= (- COS 0/СОЗф/, - cos 0/sin ф/, sin0/),
е,2 = (sin ф/, - cos фг, 0).
(Ж.2)
ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ В УРАВНЕНИИ (5.137)
387
Атомные дипольные моменты имеют следующие компоненты:
ж = I ж I [1, 0, 0], ж' = I ж' I [1, о, 0]. (Ж.З)
При таком выборе векторов поляризации сумма по а в (5.137) равна 2
2 (егзж') = iх 11х' I (созг eicos2 Ф; + sin2 <рг). (Ж.4)
0=1
Используя соотношения (4.110) и (4.116), можно заменить сумму по I в
(5.137) интегралом
ОО п 2л
*Pi' (Ж-5)
1 0 0 о
так что (5.137) приобретает вид
е2 | ж | | ж' | coco' f сог(?со; [1 - е 1 ("i ш)'] v с (1, z, и, г)
(2яс)3 . ^ (. ((о _ а ) + т^/2] (Ш; _ ш/)
О
71
X ^ sin 0гс?0г ^ (?фг (sin2 фг + cos2 0; cos2 ф() егН1г cos (Ж .6)
Интегралы по ф/ и 0/ легко вычисляются:
2 п 2 п
^ sin2 фг<7фг = ^ соз2Фг(?ф, = я. (Ж.7)
о о
Если мы положим у - cos'0/, то получим
"р1 tlr Г sin к,г cos k.r sin к,г1
я 5 (1 + Л Л = 4я • (Ж .8)
Пусть А/г 1. Тогда в (Ж.8) необходимо сохранить только первый член, так
что формула (Ж.6) сводится к следующей:
00 г! (wz -CiO К
1 е2 |(r) | I(r)'| со(c)'Г sm (озгг/с) [1 - е ]
с(1, 2, 0, t) - - r 4jt2So Яс21 j [i (со - со;) + 7^/2] (сог - со')
(Ж.9)
так как со; = cki.
388
ПРИЛОЖЕНИЯ
Предположим, что 11уА - половина времени жизни атома А - очень коротко,
так что излучение можно рассматривать как переход в непрерывном спектре.
Так как подынтегральное выражение в (Ж.9) имеет острый максимум при со/ х
со', можно вынести множитель [i (со - ац) + \>л/2]-1 из-под знака
интеграла и заменить И; на со'. По той же причине можно, не внося большой
погрешности, заменить нижний предел интегрирования по Ы; на - сю. В этом
случае (Ж.9) сводится к следующему выражению:
с(1;2;0;г)~
л. j • (а1г\ п -i(a,-a')t .
+°° dco,GTTl ' * Г1 - о с
1 е2 | х 11 х' | сосо'ро
/•(О,Л
"л, sin (^-i- j [1 - < г 4л2й? [/(со- со') + Та/2] 0 со, - со
Г Sin - С
+00 со'г С Я
"Г ' с tl --ОО ?
(Ж.Ю)
Чтобы рассчитать интеграл, мы положим
2л§ = со; - со'. (Ж.11)
Тогда интеграл можно записать следующим образом:
+оо [
I = ^ ~ sin (2я? + со') (1 - e~l2nt ?) =
--ОО
/ со'г \ 2лг? ,
= sin \ cos -~ (1 - cos 2л Щ -
- ОО
+оо
со'г Г ей; 2лг 5 .
- i cos -\ sm --- sm 2л?^ +
- ОО
+оо
со'г Г 4 2лг?
+ cos - - sin --- (1 - cos 2лtQ -
2л гЕ
¦ i sin - \ -у- sin 2л cos --------------------. (Ж.12)
Первые два интеграла равны пулю, так как подынтегральные выражения
являются нечетными функциями ?. Последние два интеграла сводятся к
следующим:
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ АТТЕНЮАТОРА 389
Этот интеграл можно вычислить с помощью преобразования Лапласа.
2> ]
тот интеграл вычисляется с помощью тождества 1
sin рх cos qx = ~2~ [sin (р + <]) х + sin (р - q) х]
и интеграла (Ж.13).
Если использовать (Ж.13) и (Ж.14), то (Ж.11) приобретает вид
{О при t<~ т/с,
(Ж-15)
+ лет г,с при 1>г/с.
Поэтому (Ж.10) равно
(0 при I < т/с,
1 # I х | I за' I ш'г/с ^ ,
г 4лй? [i (<в- а)') + Та/2] П^И
(Ж.16)
Это как раз тот результат, который мы хотели получить.
Приложение 3
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ АТТЕНЮАТОРА
