Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
вектора В с каждым из этих трех векторов. Таким образом,
?, = (В i), By = (В j), Bz = (В k),
и три числа Вх, Ву и В z однозначно определяют вектор В в трехмерном
пространстве.
В теории обычных векторов одним из постулатов является утверждение, что
указанная выше функция / (В) есть линейная функция вектора В. Это
означает, что если Вг и В2 - два вектора, то
(AiB^B^^iABJ + iABJ,
(А (с В)) ^ с (А В),
где с - число. Очевидно, что совокупность чисел / (В) может
рассматриваться как функция вектора В. Собственно говоря, здесь имеется в
виду то же самое, что мы обычно понимаем при определении некоторой
функции <р (х) от непрерывной^'переменной х: с каждым х связывается
некоторое число' ф (х).
Все приведенные выше скалярные произведения определены для векторов из
одного и того же пространства,
i.3]
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. БРА-ВЕКТОРЫ
25
Однако в кристаллографии существует интересный пример, в котором
используется понятие скалярного произведения для определения вектора в
другом пространстве. Будем считать, что векторы а, Ь и с являются
базисными векторами трансляций кристаллической решетки в обычном
пространстве. Мы можем определить базисные векторы трансляций а*, Ь* и с*
в пространстве обратной решетки путем задания скалярных произведений
векторов а*, Ь* и с* на векторы а, Ь и с. Эти скалярные произведения
имеют вид
Следовательно, мы определили вектор а* в другом пространстве с помощью
задания скалярного произведения этого вектора с тремя независимыми
векторами а, Ъ и с в обычном пространстве.
После этого весьма длинного введения мы определим скалярное произведение
кет-векторов следующим образом. Каждому кет-вектору | а) сопоставляется
комплексное число /. (В приведенных выше примерах с обычными векторами
числа / были действительными, но мы уже упоминали, что кет-векторы
являются более общими векторами, чем векторы в обычном пространстве.)
Совокупность чисел, связанных с различными кет-векторами ] а), является
функцией | а}. Эта функция должна быть линейной *). Последнее означает,
что если | ах> и | а2) являются двумя кет-векторами, то комплексное
число, связанное с суперпозицией состояний | и | а2>, является суммой
чисел, связанных с состояниями системы | ах) и | а2> отдельно; а число,
связанное с состоянием системы с | а), где с - комплексное число, равно
числу с, умноженному на комплексное число, связанное с состоянием | а),
т. е.
(а* а) = 1, (Ь* а) = 0, (с* а) = О,
("•&)= 0, (&*&) = 1, (с*й) = О,
(а*с)= U, (6* с) = 0, (с*с) = 1.
/ (I ai) + I аг)) - / (I ai)) + / (I аг>),
/(с К" = с/(К".
(1.2а)
*) Для большей математической строгости следовало бы сказать, что /
является линейным функционалом в векторном пространстве.
2(5
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
Как и в случае приведенного выше примера с обратной решеткой, мы можем
представить себе числа/, связанные со всеми кет-векторами в кет-
пространстве, как координаты некоторого нового вектора в другом
пространстве, обозначаемого символом </ | . Дирак называет векторы,
обозначаемые символом < |, бра-векторами *). Мы можем теперь написать
скалярное произведение двух векторов </ | и | а) в виде
Если мы для каждого кот-вектора | а) задаем все числа /, то мы тем самым
определяем некоторый бра-вектор </ |. Пространство бра-векторов
отличается от пространства кет-векторов так же, как пространство векторов
обратной решетки отличается от пространства векторов основной решетки.
Однако определение бра- и кет-векторов является более общим, чем
определение обычных векторов, ибо числа / в выражении (1.3) могут быть и
комплексными, в то время как в примере с кристаллической решеткой зти
числа были действительными.
Если использовать обозначение (1.3), то (1.2а) можно записать в виде
Так как бра-вектор определяется с помощью его скалярного произведения на
кет-вектор, то бра-вектор <b | равен нулю, т. е. <Ь| = 0, если (Ь \ а) =
0 для любого кет-вектора | а ). Аналогично, бра-вектор равен
бра-вектору <Ь2 It т- е- Фг I = Фг\-> если ф1 | а) - = ф2 I а) для любого
кет-вектора | а).
Сумма двух бра-векторов и произведение бра-вектора на число определяются
через их скалярное .произведение на кет-вектор | а), т. е.
/ (I а" = </ I а>-
(1.3)
</ I П Ч> + I Ч" = </ I "1> -1- </ | а2>
</|(с|а" = с < / | а).
(1.2Ь)
(Фл I + Фг1) 1"> = <bi I а) + <А I а).
(с (Ь |) |а> = сф\а}.
(1.4)
*) Названия "бра" и "кет" происходят от английского слова "bracket" -
"скобка". (Прим. перев.)
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. БРА-ВЕКТОРЫ
27
До сих пор мы определяли бра-векторы только с помощью скалярных
произведений этих векторов па кет-векторы, причем между этими бра- и кет-
векторами пе существовало никакой связи. Для установления такой связи мы
сделаем следующее предположепие: каждый кет-вектор может быть связан лишь
с одпим из бра-векторов, и причем единственным способом, т. е.
предполагается, что между всеми бра- и кет-векторами существует взаимно
однозначное соответствие. Поэтому в дальнейшем имеет смысл приписывать
