Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, разложим потенциал Ф в ряд вблизи анодного или катодного конца границы плазменной области, т. е. для р 0, ограничиваясь членами порядка р2:
Ф(р, г, О = ф(0. z, t) + Ф?(0, z, Op + Фрр(0,2, t) р2/2 +... (6.11)
182
Подставляя этот ряд в уравнение (6.9), получаем
—фр (О, 2, /) + Ф?р (О, 2, t) + Ф?р (0, 2, t) + Ф"гг (О, г, t) +
P
+ Ф(кг (0, 2, О P + Фрргг (О, 2, /) Р2/Е = 0. (6.12)
Для того чтобы данное разложение при р 0 удовлетворяло
уравнение Лапласа, должно быть
Ф? (0, z, t) = 0 (6.13)
2Ф;Р (0,2,0 + Ф« (0, г, t) = 0. (6.14)
Следовательно, ряд (6.11) можно переписать в виде
Ф(Р. z. 0 = ф(2, 0—fPztiz' OP2/4. (6-15)
где
Ф(г,0 = Ф(0,2,0; (6.16)
<Pzz (z.O = Ф« (°* 2, О- (6-17)
Подставим Ф в виде (6.15) в граничные условия (6.12) и (6.6):
ф (2, о—фг, (г, /) р2/4 = 0; (6.18)
~ [ф(г, t)—<ф„(2, /)р2/4] ± &{[ — (ф(г, /)—Ф«(г. +
+ [-^- (ф(2, <) — 'Фя(2, O-J ) 2) = °- (6Л9)
Уравнения (6.18) и (6.19) можно переписать в виде
= (6.20)
ФZZ (г, О
і (? () - Й о ¦? ± 6 {[ ¦- +
+ [ф.й 0-фт Й 0 ?¦]’} = 0, (6.21)
где
ф* (2, O=-V (2,0; фш 6 0 = ~ Фи (z> 0» (6-22)
0Z 0Z
а ф — означает дифференцирование по времени. Возведем выражения в квадратных скобках в сотношении (6.21) в квадрат и оставим члены, содержащие степени р не выше второй:
ф (2, 0 —Ф« (2, t)^J±b |ф| (2, t) — *j Ф*(2. 0ф*« (2, 0 +
+ ^-ф*& 0р2] = 0. (6.23)
183
Подставим сюда значение р из (6.20): ф(? 0 Фет (z, 0 + fj Фи (г, О
ф (Z, О•
ф* (і, Q 2 ф(г’ ^ Ф» <2’Ф”» (z> О
Фга (z. О
= 0. (6.24)
Рассмотрим, для определенности, анодный конец стримера. Это соответствует выбору знака плюс перед Ь. Разложим теперь <р (г, t) в ряд по степеням г вблизи анодного конца, т. е. вблизи z = а, где а равняется половине длины стримера в данный момент времени:
Ф(2, t) = (fz(a, t)(z—a) + — фzz(a, t)(z—af + + -уф^г(«. 0(z—а)3 + ...
(6.25)
[ф (a, t) = 0, так как ф (a, t) = Ф (0, a, t) = 0, см. (6.2) и {6.16)]. Определим из этого разложения функции, входящие в (6.24):
ф*(2, /) = ф2(«. 0 + Vzz (й. 0(2 —а)+у-Фи* (а, 0 (2—я)2 + ...; (6.26)
<fzz(z,t) = q>iz{a,t) + <fzzz(p,t)(z—a)+...-, (6.27)
Ф(г, 0 = ф2 (а, 0 + Фгг(а» 0(2—а)—аф**(а, 0 +
+ ~<Pzzz(a>t)(z—a)2 — a<pzzz(a, ()(z—a) + ...; (6.28)
Фгг = SPzz (а> 0 +cPzzz (а> t)(Z — a) — CKfzzt(a, t)+... (6.29)
Подставляя функции (6.26) — (6.29) в (6.24) и приравнивая члены одинаковых порядков по степеням (г— а), получаем
а = бфг(«, 0;
Фи (а, 0 Фг (Q. Q-Фи (а, 0 Фг ('а, 0 _ ФІг (a. О Фш (а, 0 Фг (а> О
= —ь
ФIz (а, о
—2фг(а. 0
(6.30)
(6.31)
Уравнение (6.30) означает, что скорость анодного конца стримера а определяется напряженностью поля в точке Z = а, р = 0, т. е. не дает ничего нового, а из уравнения (6.31) можно получить информацию о поведении конца стримера. Для этого несколько преобразуем это уравнение.
Как известно, радиус кривизны R кривой, которая задается уравнением F (z, р) = 0, определяется выражением
¦-['+(-і)’
3/2 (d2z Y1
\ dp2
г
(6.32)
184
Так как поверхность стримера, согласно условию (6.2), в любой момент времени есть эквипотенциаль Ф (р, Zf t) = 0, то
йФ (р, ZJt) - -аф (Р' г'-° dp + 0 dz = 0, (6.33)
др дг
отсюда
dz_ = дФ IdФ
dp dg I дг
Из (6.15) можно получить
дФ
(6.34)
= *-Ф zz(z,t); (6.35)
dp 2
дФ/дг = ф2 (zf /), (6.36)
откуда
dz/др = рф22 (zt t)l2фг (г, 0; (6.37)
d2z/др2 = ф22 (z, t)!2фг (z, ^). (6.38)
Подставляя (6.37) и (6.38) в (6.32), получаем, что вблизи анодного конца стримера
R = 2ф2/ф2г. (6.39)
Подставляя, наконец, (6.39) в (6.31), получаем уравнение для определения радиуса кривизны поверхности стримера вблизи его концов в виде
dRldt = —2b (2ф, — ф!ф222/фУ. (6.40)
Это уравнение можно переписать в более удобном виде, заменив
dR dR da dR и
-T7- на -р- • — = — Ь ф *
dt da dt da
dRlda = 2 (ф2ф222/ф|* — 2). (6.41)
Соотношение (6.41) точное и не зависит от конкретной формы эквипотенциальной поверхности стримера. Для дальнейшего решения требуется знать величины ф2, ф22 и ф222, т. е. следует задаться определенной моделью формы стримера. Критерием годности выбранной модели будет служить согласие параметров, рассчитанных на основе данной модели, с результатами эксперимента.
6.2. Эллипсоидальная модель стримера
Если проанализировать большинство фотографий стримеров, то можно заметить, что форма его поверхности в первом приближении напоминает вытянутый вдоль направления внешнего поля эллипсоид вращения. Поэтому выберем в качестве модели стримера эллипсоид вращения с большой полуосью а (вдоль внешнего поля E0) и фокусным расстоянием /.
185
Задача о распределении потенциала вокруг квазиметаллическо-го эллипсоида, помещенного в однородное поле E0, решается точно, причем выражение для потенциала имеет вид [1]
O=-E0Z
In
V (/—z)2 + P2 + /—z 1/(;-г)а + р2-У(/+г)* + р2~
а—f а
(6.42)
Рис. 6.1. Зависимость скорости распространения анодного V+ и катодного v~ концов от длины стримера / при различных напряженностях электрического поля E в неоне при давлении 1 ат
