Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Prr —OO —OO
В последнем выражении, где Fy =--------- — сила, действующая
на частицу в направлении ее отклонения, a t — время, виден физический смысл этого упрощения при малых углах отклонения.
Интегралы в формулах (1.33) и (1.34) легко берутся, когда потенциал взаимодействия пропорционален г"1 или г-2. Первая зависимость особенно важна, так как она имеет место в случаях сил тяготения (закон Ньютона) и взаимодействия заряженных частиц (закон Кулона). При этом
% = 2 arctg ~^г~> (1-35)
do Z\Zle* б>
dQ 4Г2(1—cosx)2 ’ v->
где 2хе и 2ф — заряды взаимодействующих частиц. (В случае за-
17
кона тяготения роль зарядов играют Yym1 и Yymi, где у = = 7 • IO-8 г-1 • см3 • сект2.) Так как
dQ = 2я sin X^X — 2nd(l —cos х) = л
T11о Mi m2
в силу (1.27), то при столкновении движущейся частицы с неподвижной можно выразить дифференциал сечения через дифференциал энергии rfe, переданной неподвижной частице, имея в виду, что энергия относительного движения T = T1Qtn2IM1 где T10 — энергия движущейся частицы при покоящейся второй частице:
da= е*-йг. (1.37)
m2 T10 є2
Если проинтегрировать это выражение по є в пределах от ег- до T10t то получится сечение передачи энергии, превышающей Є;, неподвижной частице:
<* = — (T10-Bt). (1.38)
TIQ Si
Кулоновское рассеяние, играющее основную роль в газовом разряде и вообще в атомной физике, отличается еще и тем, что все формулы классической механики справедливы и в квантовой механике и, кроме того, совпадают с формулами, получаемыми в квантовой механике в первом приближении теории возмущений — приближении Борна в теории столкновений (борновском приближении).
Другой случай точного интегрирования в формулах (1.33) и (1.34) представляет собой закон взаимодействия U = Ci1Ir2. Он не интересен для газового разряда, хотя может представить некоторый интерес для рассеяния пучков, проходящих через газ, как частный случай более общего U = Ci1Irn. Так обычно можно аппроксимировать упругое взаимодействие атомов или атомов с ионами при относительно больших энергиях T > 1 эв. Тогда в хорошем приближении для малых углов рассеяния
х= 0 ——— л/~—~~— > (1.39)
Гр" V 2л+1,14 T10 р" V 2л+1,14
где 0 — угол рассеяния в лабораторной системе координат, когда вторая частица покоится. Действительно, согласно (1.11) и (1.13), с учетом того, что для упругих соударений а = 1, а также для малых углов 0 = %т21М. Кроме того, здесь использовано соотношение, связывающее энергию в Ц- и Л-системах:
T10 = TMlm2.
Дифференциальные эффективные сечения в Ц- и Л-системах при малых углах рассеяния соответственно равны:
tja\ = A = -Lf яп8 ¦,¦V^v-ad+iwr-l^2^. (і 40\
V dQ !ц td% ' п Un+1,14/ А Vrj > V • ;
18
(JEL\ -- -E^L-a JL I 55! V/rt є—2 (і + \in) f a \2/n ' (і 4i)
{ dQ ) л Ш n \2л +1 ,И / V T10 J
Особый интерес в газовом разряде представляет рассеяние ионов на атомах. Это рассеяние определяется потенциалом притяжения, вызванным поляризацией атома ионом, так что возникающий ди-польный момент атома пропорционален электрическому полю иона, т. е. d = OLeIr2, где d — дипольный момент атома; а — поляризуемость. Сила взаимодействия между диполем и зарядом равна 2ed/r3 = ZaLe2Irb. Отсюда потенциал взаимодействия
U (г) = — Ц 2ае2 dr I г5 = —ае212г\
г
Поляризуемость а имеет размерность см3 и обычно примерно на порядок больше атомной единицы объема. Правда, для щелочных элементов она значительно больше (170—350 а. е.).
Если потенциал притяжения меняется быстрее, чем г-2, то при не слишком больших энергиях T всегда есть такое значение р, при котором подкоренное выражение в формуле (1.33) для угла % в знаменателе под знаком интеграла обращается в нуль одновременно с его производной. В этом случае интеграл расходится и % обращается в бесконечность как In (г — T0)"1. Если р > р0, то по мере приближения р сверху к значению р0 угол % резко возрастает и частица делает все больше и больше оборотов вблизи окружности с радиусом, определяемым из уравнения
I — U (г0)/Т — Pblr20 = 0.
При
P < Po частица по спирали приближается к центру, пока силы притяжения не начинают возрастать медленнее, чем г“2. Поэтому сечение яр§ называется сечением захвата. Далее частица также по спирали начнет удаляться от центра. Во всей этой области угол рассеяния к очень сильно меняется с изменением р, много раз пробегая значения от 0 до я. Это дает возможность легко и с хорошей точностью вычислить транспортное (диффузионное) сечение упругого рассеяния. Это сечение выражается формулой
OO
а* = ^ (do/dQ)(l—cos%)dQ= ^(1—cos%)-2яр<ір =
о
OO OO
= л §(1 — cosx)dp2 = 2it ^sin2(x/2)-dp2. (1-42)
о о
Однако в силу сказанного выше при р ~ р0 sin2 (х/2) как функция р2 быстро колеблется между нулем и единицей, так что среднее значение sin2 (х/2) равно половине. Когда %< I, sin2 (х/2) ~
19
— %V4' и быстро убывает с ростом р2 ~ (UIT)2, а интеграл в (1.42) быстро сходится. В результате получаем
а* = 2я ^ sin2 (х/2) dp2 = яр2,
(1.43)
где р2 — значение р2 при % « 0,6.
