Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, внутри лавины поле ослабляется. Однако, несмотря на то что коэффициент ионизации а сильно уменьшается при уменьшении поля, еще не очевидно, что в среднем электроны будут ионизировать меньше,так как ос как функция E имеет большую величину второй производной d2a!dE\ в области значен ий E09 соответствующих пробою. Оценим в связи с этим изменение ионизации, когда Е" E0. Изменение числа электронов пе в лавине в единицу времени можно определить по формуле
Здесь Ne определяется соотношением (4.7); dx—элемент объема-и интегрирование производится по всей лавине; V0 = ЬЕ0 — ско, рость лавины.
Строго говоря, скорость электронов в центре лавины меньше а0 из-за ослабления поля внутри лавины. Однако, так как электроны в передней части лавины находятся в более сильном поле-и боль-
к другу.
173
а =
ше ионизируют, центр лавины нужно все время перемещать вперед, т. е. центр тяжести лавины перемещается с большей скоростью, чем средняя скорость электронов. Поэтому будет правильнее считать, что скорость лавины совпадает со скоростью электронов, находящихся в поле E0. Таким образом, средний коэффициент ионизации для всей лавины, согласно соотношению (5.63), определяется формулой
I dtig_ I dtig _____ 1 j* MgEadx ^^ 64)
ге dz nev0 dt пе J E0 Для оценки изменения ионизации в лавине, характеризующейся величиной (а — а0)/ао» где а0 — коэффициент ионизации в поле E0, можно принять
Ne = еа2/(4/3л#3) = аЕ0!Ые (5.65)
при г ^ R и Ne = О при r>R. Здесь учтено соотношение (5.61).
Этот результат весьма интересен, так как свидетельствует о том> что в рассматриваемом приближении концентрация электронов при развитии лавины после достижения его критических размеров остается постоянной.
Электроны создают радиальное поле
Е" = E0rHR9 (5.66)
где г — расстояние от центра лавины. Электрическое поле, которое создают положительные ионы в лавине, можно приблизительно считать однородным, направленным противоположно внешнему полю E0, так как все ионы в основном находятся позади лавины. Если число электронов в лавине пе и диаметр ее 2Ry то при своем движении к аноду лавина оставляет след положительных ионов диаметром порядка 2R и количество ионов на единицу длины в части еле* да, непосредственно прилегающей к лавине, порядка апе. С удалением от лавины в направлении к катоду плотность ионов экспоненциально убывает, и можно считать, что поле, созданное ионами в лавине, приближенно равно*
E' = CLetiJR9 (5.67)
или на основании соотношения (5.62)
И = -2?2ї- = аЯ_2їе_ = 3 (—V. (5.68)
E0 EaR EaR* V E0 J У f
Таким образом, ErIE0 является величиной второго порядка
малости, если EnIE0 считать величиной первого порядка малости.
В сферических координатах с началом в центре лавины выражение для напряженности поля Е, действующего на электроны лавины, можно теперь написать в виде*
Е = У(Е0—Е')* + (ЕУ—2{Е0 — ?')?"cos0, (5.69)
*Поля электрических изображений в аноде здесь можно не учитывать, так как лавина находится далеко от анода.
174
где 0 — угол между вектором г и направлением поля E0. Так как концентрация электронов в лавине не зависит от координат при г ^ R и равна нулю при г > R [см. формулу (5.65)], то (5.64) можно переписать в виде
R Jt 2 Jt
“ і !¦к*=Ш t'01{Е)-^drslnlШіч'
ООО
или, так как Ey согласно выражению (5.69), не зависит от ф,
R Jt
- j j* j- a (E) г2 dr sin 0d0. (5.70)
R я
3
а
2 R9
о о
Разложим подынтегральное выражение Ea (E)IE0 в ряд по степеням (E2 — El):
Ea(E) /г \ і /і? 'і \ E2-El . /Г72 * *
- — a (E0) + (E0 а0 + а0) ——-(?0 а0 +
• +^e=Stl...
где а0 = а(?0); a0 = da(E)/dE\E=E„
Ограничиваясь величинами ?"2 и E' в силу (5.68), имеем из выражения (5.69)
E2-E20 = —2?0 2?0?" cos 0. (5.72)
Соответственно
(Ei-ED2 = AE20EniCOS2Q. (5.73)
Подставляя выражения (5.72) и (5.73) в (5.71), получаем
Ea(E) /с \ і /с ' і \ —2E0E'E"2—2E,,E’'cos6 .
-^-1 = а(Е0) + (Е0а0+ай)----------^—3-—--&-------_}.
E0 2Е\
+ [E20 a I+ E0 Ct10-Ci0)-E"2 cos2 0/2E20. (5.74)
Это выражение подставим в (5.70) и произведем интегрирование. Тогда
O = O0-(?0а; + Оо)
E^____________3 / En У'
?0 Ю V / .
+
+ (?Х + ?0а;-а0)-^ f-g-V. (5.75)
Используя выражение (5.68), формулу можно написать в виде (a a0J __________ /qq і OA Eq О&о п 1 ?0 aO \ ( Er
Для оценки можно использовать зависимость а = Лехр (—В/Е).
Для воздуха В « 200 кв/см в широком интервале напряженностей полей, включающем пробивные. В этом случае
E0a'0la0 = BIE0; Eban0Ia0 = —2BIE0 + B2IEl (5.77)
Подставляя аб и а0 в выражение (5.76), получаем (а — а0)/а0 - [2,8 + 2,6BIE0 — 0,1 (BIE0)2I (Е?/Е0)\
(5.78)
Коэффициент в квадратных скобках достигает максимального значения 19,7 при BIE0 = 13. В воздухе при атмосферном давлении это соответствует E0 ж 15 кв/см. Таким образом, при напряженностях поля E0 « 30 кв/см, соответствующих обычному искровому пробою в воздухе, при атмосферном давлении, когда ErIE0 = 1/6, a Rtt 1/2а0, истинное значение ос, согласно (5.78), уменьшается примерно в два раза. Следовательно, при En2IE0 = 1/6 уже требуются некоторые поправки к предыдущим выводам.
