Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
нового ряда ВСВ выпуклости такие же, как и у А\С, следовательно,
конфигурации этого ряда будут устойчивыми. Здесь произошла передача
устойчивости членам нового ряда. Для каждого значения д, соответствующего
фрагмен-
1 Здесь Литтлтон обращается к геометрической картине. Аналитически то же
самое можно выразить через знак второй производной. - Прим. ред.
Устойчивость
25
Рис. 2.
ту А\С, существует только одна форма равновесия, и она устойчива, но за
этим фрагментом существует три возможных формы равновесия: две устойчивых
и одна неустойчивая.
(II) Здесь, если допустить, что изначально ряд А\С был устойчив, то
продолжение ряда С А2 вновь оказывается неустойчивым. Но теперь и ряд ВС
В должен стать неустойчивым. Поэтому в данном случае в точке С
устойчивость исчезает.
(III) Здесь для каждого значения /г существуют две возможные конфигурации
равновесия, причём если на А\С они устойчивы, то на СИ.2 нет. Для
значений ц в точке С теряется устойчивость, и за ней возможные формы
равновесия отсутствуют.
26
Глава II
(IV) Для значений ц здесь существует только одна конфигурация,
соответствующая ряду А\С. Как и в предыдущих примерах за точкой С формы
равновесия отсутствуют.
Случаи (I) и (II) особенно важны для задач, с которыми мы будем иметь
дело. На практике удобно выбрать такой параметр для д, который монотонно
возрастает или убывает по мере того, как система постепенно развивается.
Вскоре мы увидим, что в качестве такого параметра можно взять либо
угловую скорость, либо момент вращения конфигурации. Допустим теперь, что
выбор параметра сделан. Очевидно, что в случае (II) члены неустойчивого
ряда ВСВ просто не могут появиться, хотя изначально система находилась на
устойчивом фрагменте А\С^ а величина д теоретически допускала бы
возможность их существования. Хотя с формальной точки зрения эту
конфигурацию и можно было бы рассматривать в одном из обсуждаемых
неустойчивых положений.
Необходимо отметить, что часто используемый в случаях (I) и (II) термин
"обмен устойчивостью" является не вполне корректным, т. к. устойчивость
не обязательно передаётся новому ряду. Если устойчивость исходного ряда
теряется, то новый ряд, даже если он существует, не всегда является
устойчивым.
Следуя Джинсу, эти возможные случаи можно схематически представить в виде
следующих упрощенных диаграмм:
Рис. 3. Выделенные линии обозначают устойчивые ряды, пунктирные -
неустойчивые. Стрелки указывают направление развития ряда.
5. Правила графического определения устойчивости
Проведённые рассуждения позволяют сформулировать следующие правила
графического определения изменения устойчивости системы в точке
бифуркации:
Устойчивость
27
1) Если устойчивый ряд, обозначенный вертикальной линией, при развитии
достигает точки бифуркации, то этот исходный ряд утратит устойчивость и
передаст её новому ряду при условии, что кривая, представляющая новый
ряд, направлена вверх. Это и есть вышеописанный случай (I).
2) Если новый ряд направлен вниз, как в случае (II), то конфигурации в
нём отсутствуют, а продолжение исходного ряда является неустойчивым.
3) Если же сам первоначальный ряд направлен вниз, как в случае (III), или
он вообще обрывается, как в случае (IV), то для значений параметра,
находящегося непосредственно за точкой бифуркации, последующие формы
равновесия, как устойчивые, так и неустойчивые, отсутствуют.
Важно подчеркнуть: чтобы эти результаты оставались справедливыми, число
координат, необходимых для описания данной системы, должно оставаться
неизменным. Непрерывные системы, такие, например, как жидкие массы, для
своего полного описания требуют бесконечного количества координат, но
если ограничить эту массу какой-либо формой, то число необходимых
координат станет конечным. Так, если рассматривать только эллипсоидальные
формы, будет достаточно двух координат: если а, Ъ, с обозначают полуоси,
то они должны удовлетворять условию abc = const. Если рассматривать
только сфероидальные формы, то а = Ъ, т. е. будет вполне достаточно одной
координаты. Если изобразить для ряда Маклорена график, подобный
вышеописанному, то точка бифуркации не возникает, т. к. в данных пределах
отсутствуют другие ряды фигур равновесия1. С другой стороны, если
изобразить график для эллипсоидального ряда, то точка бифуркации окажется
в точке его пересечения с рядом Маклорена.
Существование грушевидной фигуры именно и было установлено тогда, когда с
помощью метода эллипсоидальных гармонических функций удалось учесть
необходимое для этого число степеней свободы. Что-то подобное, хотя и не
совсем ясно, высказывали ещё Кельвин и Дарвин.
1 Точнее было бы сказать, что точку бифуркации нельзя вообще отыскать,
изучая характеристики лишь самих сжатых сфероидов и игнорируя смежные
конфигурации. - Прим. ред.
28
Глава II
6. Аналитическое исследование
Условие для точки бифуркации на линейном ряде можно легко определить
аналитически.
Допустим, что (Д = a,i является конфигурацией равновесия при
